Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74953 / 55321
↖ ↑ ↗
← N 26.997961°
E 25.864563°		 ← 272.14 m → N 26.997961°
E 25.867310°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.995513°
E 25.864563°		 ← 272.15 m →
74 069 m²		 N 26.995513°
E 25.867310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571849822998047 y=0.422069549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571849822998047 × 217)
    floor (0.571849822998047 × 131072)
    floor (74953.5)     		tx = 74953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422069549560547 × 217)
    floor (0.422069549560547 × 131072)
    floor (55321.5)     		ty = 55321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74953 / 55321 ti = "17/74953/55321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74953/55321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74953 ÷ 217
    74953 ÷ 131072     		x = 0.571846008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55321 ÷ 217
    55321 ÷ 131072     		y = 0.422065734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571846008300781 × 2 - 1) × π
    0.143692016601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45142178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422065734863281 × 2 - 1) × π
    0.155868530273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.489675429618874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45142178} λ = 0.45142178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489675429618874))-π/2
    2×atan(1.63178650442738)-π/2
    2×1.0209998167128-π/2
    2.04199963342561-1.57079632675     		φ = 0.47120331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45142178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.864563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47120331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.997961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74953 KachelY 55321 0.45142178 0.47120331 25.864563 26.997961
    Oben rechts KachelX + 1 74954 KachelY 55321 0.45146972 0.47120331 25.867310 26.997961
    Unten links KachelX 74953 KachelY + 1 55322 0.45142178 0.47116059 25.864563 26.995513
    Unten rechts KachelX + 1 74954 KachelY + 1 55322 0.45146972 0.47116059 25.867310 26.995513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47120331-0.47116059) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47120331-0.47116059) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45142178-0.45146972) × cos(0.47120331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8910226802555 × 6371000     		do = 272.141261473956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45142178-0.45146972) × cos(0.47116059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891042072561957 × 6371000     		du = 272.147184383506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47120331)-sin(0.47116059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8910226802555-0.891042072561957)×R²
    abs(0.45146972-0.45142178)×1.93923064571999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93923064571999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93923064571999e-05×40589641000000     		ar = 74069.253678856m²