Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74951 / 55625
↖ ↑ ↗
← N 26.251546°
E 25.859070°		 ← 273.92 m → N 26.251546°
E 25.861817°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.249083°
E 25.859070°		 ← 273.93 m →
75 026 m²		 N 26.249083°
E 25.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571834564208984 y=0.424388885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571834564208984 × 217)
    floor (0.571834564208984 × 131072)
    floor (74951.5)     		tx = 74951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424388885498047 × 217)
    floor (0.424388885498047 × 131072)
    floor (55625.5)     		ty = 55625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74951 / 55625 ti = "17/74951/55625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74951/55625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74951 ÷ 217
    74951 ÷ 131072     		x = 0.571830749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55625 ÷ 217
    55625 ÷ 131072     		y = 0.424385070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571830749511719 × 2 - 1) × π
    0.143661499023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45132591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424385070800781 × 2 - 1) × π
    0.151229858398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.475102612134377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45132591} λ = 0.45132591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475102612134377))-π/2
    2×atan(1.60817920772058)-π/2
    2×1.01448612281269-π/2
    2.02897224562538-1.57079632675     		φ = 0.45817592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45132591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.859070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45817592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.251546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74951 KachelY 55625 0.45132591 0.45817592 25.859070 26.251546
    Oben rechts KachelX + 1 74952 KachelY 55625 0.45137385 0.45817592 25.861817 26.251546
    Unten links KachelX 74951 KachelY + 1 55626 0.45132591 0.45813293 25.859070 26.249083
    Unten rechts KachelX + 1 74952 KachelY + 1 55626 0.45137385 0.45813293 25.861817 26.249083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45817592-0.45813293) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dl = 273.889290000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45817592-0.45813293) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dr = 273.889290000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45132591-0.45137385) × cos(0.45817592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896860803236492 × 6371000     		do = 273.924374505638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45132591-0.45137385) × cos(0.45813293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896879817439203 × 6371000     		du = 273.930181932571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45817592)-sin(0.45813293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896860803236492-0.896879817439203)×R²
    abs(0.45137385-0.45132591)×1.90142027111095e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90142027111095e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90142027111095e-05×40589641000000     		ar = 75025.7477546878m²