Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74950 / 56650
↖ ↑ ↗
← N 23.699865°
E 25.856323°		 ← 279.67 m → N 23.699865°
E 25.859070°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 23.697350°
E 25.856323°		 ← 279.67 m →
78 202 m²		 N 23.697350°
E 25.859070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571826934814453 y=0.432209014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571826934814453 × 217)
    floor (0.571826934814453 × 131072)
    floor (74950.5)     		tx = 74950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432209014892578 × 217)
    floor (0.432209014892578 × 131072)
    floor (56650.5)     		ty = 56650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74950 / 56650 ti = "17/74950/56650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74950/56650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74950 ÷ 217
    74950 ÷ 131072     		x = 0.571823120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56650 ÷ 217
    56650 ÷ 131072     		y = 0.432205200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571823120117188 × 2 - 1) × π
    0.143646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45127797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432205200195312 × 2 - 1) × π
    0.135589599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.425967290023819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45127797} λ = 0.45127797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425967290023819))-π/2
    2×atan(1.53107069302826)-π/2
    2×0.992218499118087-π/2
    1.98443699823617-1.57079632675     		φ = 0.41364067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45127797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.856323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41364067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.699865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74950 KachelY 56650 0.45127797 0.41364067 25.856323 23.699865
    Oben rechts KachelX + 1 74951 KachelY 56650 0.45132591 0.41364067 25.859070 23.699865
    Unten links KachelX 74950 KachelY + 1 56651 0.45127797 0.41359678 25.856323 23.697350
    Unten rechts KachelX + 1 74951 KachelY + 1 56651 0.45132591 0.41359678 25.859070 23.697350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41364067-0.41359678) × R
    4.38899999999909e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41364067-0.41359678) × R
    4.38899999999909e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45127797-0.45132591) × cos(0.41364067) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915663543028124 × 6371000     		do = 279.667215220527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45127797-0.45132591) × cos(0.41359678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915681183539145 × 6371000     		du = 279.67260308666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41364067)-sin(0.41359678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915663543028124-0.915681183539145)×R²
    abs(0.45132591-0.45127797)×1.76405110215994e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76405110215994e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76405110215994e-05×40589641000000     		ar = 78202.1921570172m²