Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7495 / 7343
↖ ↑ ↗
← S 80.524840°
E149.370117°		 ← 804.41 m → S 80.524840°
E149.414063°		 →
↑
804.08 m
↓
↑
804.08 m
↓
S 80.532071°
E149.370117°		 ← 803.81 m →
646 572 m²		 S 80.532071°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91497802734375 y=0.89642333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91497802734375 × 213)
    floor (0.91497802734375 × 8192)
    floor (7495.5)     		tx = 7495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89642333984375 × 213)
    floor (0.89642333984375 × 8192)
    floor (7343.5)     		ty = 7343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7495 / 7343 ti = "13/7495/7343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7495/7343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7495 ÷ 213
    7495 ÷ 8192     		x = 0.9149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7343 ÷ 213
    7343 ÷ 8192     		y = 0.8963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9149169921875 × 2 - 1) × π
    0.829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60700035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49041780906116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60700035} λ = 2.60700035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49041780906116))-π/2
    2×atan(0.0828753332754344)-π/2
    2×0.0826863732422862-π/2
    0.165372746484572-1.57079632675     		φ = -1.40542358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60700035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.370117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40542358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.524840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7495 KachelY 7343 2.60700035 -1.40542358 149.370117 -80.524840
    Oben rechts KachelX + 1 7496 KachelY 7343 2.60776734 -1.40542358 149.414063 -80.524840
    Unten links KachelX 7495 KachelY + 1 7344 2.60700035 -1.40554979 149.370117 -80.532071
    Unten rechts KachelX + 1 7496 KachelY + 1 7344 2.60776734 -1.40554979 149.414063 -80.532071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40542358--1.40554979) × R
    0.000126210000000126 × 6371000     		dl = 804.083910000806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40542358--1.40554979) × R
    0.000126210000000126 × 6371000     		dr = 804.083910000806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60700035-2.60776734) × cos(-1.40542358) × R
    0.000766990000000245 × 0.164620003851726 × 6371000     		do = 804.414544221489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60700035-2.60776734) × cos(-1.40554979) × R
    0.000766990000000245 × 0.164495514416111 × 6371000     		du = 803.806227429683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40542358)-sin(-1.40554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164620003851726-0.164495514416111)×R²
    abs(2.60776734-2.60700035)×0.000124489435614467×R²
    0.000766990000000245×0.000124489435614467×6371000²
    0.000766990000000245×0.000124489435614467×40589641000000     		ar = 646572.223963818m²