Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7495 / 6088
↖ ↑ ↗
← N 74.188052°
W 97.657471°		 ← 332.86 m → N 74.188052°
W 97.646485°		 →
↑
332.95 m
↓
↑
332.95 m
↓
N 74.185058°
W 97.657471°		 ← 332.92 m →
110 834 m²		 N 74.185058°
W 97.646485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228744506835938 y=0.185806274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228744506835938 × 215)
    floor (0.228744506835938 × 32768)
    floor (7495.5)     		tx = 7495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185806274414062 × 215)
    floor (0.185806274414062 × 32768)
    floor (6088.5)     		ty = 6088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7495 / 6088 ti = "15/7495/6088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7495/6088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7495 ÷ 215
    7495 ÷ 32768     		x = 0.228729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6088 ÷ 215
    6088 ÷ 32768     		y = 0.185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.54254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70444440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185791015625 × 2 - 1) × π
    0.62841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.97423327395239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70444440} λ = -1.70444440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97423327395239))-π/2
    2×atan(7.20109626854895)-π/2
    2×1.43281104698323-π/2
    2.86562209396646-1.57079632675     		φ = 1.29482577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70444440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.657471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29482577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.188052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7495 KachelY 6088 -1.70444440 1.29482577 -97.657471 74.188052
    Oben rechts KachelX + 1 7496 KachelY 6088 -1.70425266 1.29482577 -97.646485 74.188052
    Unten links KachelX 7495 KachelY + 1 6089 -1.70444440 1.29477351 -97.657471 74.185058
    Unten rechts KachelX + 1 7496 KachelY + 1 6089 -1.70425266 1.29477351 -97.646485 74.185058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29482577-1.29477351) × R
    5.22600000001372e-05 × 6371000     		dl = 332.948460000874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29482577-1.29477351) × R
    5.22600000001372e-05 × 6371000     		dr = 332.948460000874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70444440--1.70425266) × cos(1.29482577) × R
    0.000191739999999996 × 0.272480897228653 × 6371000     		do = 332.855999171769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70444440--1.70425266) × cos(1.29477351) × R
    0.000191739999999996 × 0.272531179400471 × 6371000     		du = 332.91742264296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29482577)-sin(1.29477351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272480897228653-0.272531179400471)×R²
    abs(-1.70425266--1.70444440)×5.02821718179058e-05×R²
    0.000191739999999996×5.02821718179058e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.02821718179058e-05×40589641000000     		ar = 110834.117776507m²