Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7495 / 5224
↖ ↑ ↗
← N 54.470038°
W 15.314941°		 ← 1 419.82 m → N 54.470038°
W 15.292969°		 →
↑
1 420.03 m
↓
↑
1 420.03 m
↓
N 54.457267°
W 15.314941°		 ← 1 420.27 m →
2 016 508 m²		 N 54.457267°
W 15.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457489013671875 y=0.318878173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457489013671875 × 214)
    floor (0.457489013671875 × 16384)
    floor (7495.5)     		tx = 7495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318878173828125 × 214)
    floor (0.318878173828125 × 16384)
    floor (5224.5)     		ty = 5224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7495 / 5224 ti = "14/7495/5224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7495/5224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7495 ÷ 214
    7495 ÷ 16384     		x = 0.45745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5224 ÷ 214
    5224 ÷ 16384     		y = 0.31884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26729615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31884765625 × 2 - 1) × π
    0.3623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13821374457861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26729615} λ = -0.26729615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13821374457861))-π/2
    2×atan(3.12118814357671)-π/2
    2×1.2607389134023-π/2
    2.5214778268046-1.57079632675     		φ = 0.95068150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26729615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.314941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95068150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.470038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7495 KachelY 5224 -0.26729615 0.95068150 -15.314941 54.470038
    Oben rechts KachelX + 1 7496 KachelY 5224 -0.26691266 0.95068150 -15.292969 54.470038
    Unten links KachelX 7495 KachelY + 1 5225 -0.26729615 0.95045861 -15.314941 54.457267
    Unten rechts KachelX + 1 7496 KachelY + 1 5225 -0.26691266 0.95045861 -15.292969 54.457267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95068150-0.95045861) × R
    0.000222889999999976 × 6371000     		dl = 1420.03218999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95068150-0.95045861) × R
    0.000222889999999976 × 6371000     		dr = 1420.03218999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26729615--0.26691266) × cos(0.95068150) × R
    0.000383489999999986 × 0.581128611761183 × 6371000     		do = 1419.82201914704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26729615--0.26691266) × cos(0.95045861) × R
    0.000383489999999986 × 0.581309987821605 × 6371000     		du = 1420.26515982041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95068150)-sin(0.95045861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581128611761183-0.581309987821605)×R²
    abs(-0.26691266--0.26729615)×0.000181376060421679×R²
    0.000383489999999986×0.000181376060421679×6371000²
    0.000383489999999986×0.000181376060421679×40589641000000     		ar = 2016507.61661731m²