Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74946 / 54118
↖ ↑ ↗
← N 29.902568°
E 25.845337°		 ← 264.71 m → N 29.902568°
E 25.848083°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
N 29.900186°
E 25.845337°		 ← 264.72 m →
70 091 m²		 N 29.900186°
E 25.848083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571796417236328 y=0.412891387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571796417236328 × 217)
    floor (0.571796417236328 × 131072)
    floor (74946.5)     		tx = 74946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412891387939453 × 217)
    floor (0.412891387939453 × 131072)
    floor (54118.5)     		ty = 54118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74946 / 54118 ti = "17/74946/54118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74946/54118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74946 ÷ 217
    74946 ÷ 131072     		x = 0.571792602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54118 ÷ 217
    54118 ÷ 131072     		y = 0.412887573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571792602539062 × 2 - 1) × π
    0.143585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45108623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412887573242188 × 2 - 1) × π
    0.174224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.547343519861801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45108623} λ = 0.45108623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547343519861801))-π/2
    2×atan(1.72865477592426)-π/2
    2×1.04634729316448-π/2
    2.09269458632896-1.57079632675     		φ = 0.52189826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45108623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.845337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52189826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.902568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74946 KachelY 54118 0.45108623 0.52189826 25.845337 29.902568
    Oben rechts KachelX + 1 74947 KachelY 54118 0.45113416 0.52189826 25.848083 29.902568
    Unten links KachelX 74946 KachelY + 1 54119 0.45108623 0.52185670 25.845337 29.900186
    Unten rechts KachelX + 1 74947 KachelY + 1 54119 0.45113416 0.52185670 25.848083 29.900186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52189826-0.52185670) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52189826-0.52185670) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45108623-0.45113416) × cos(0.52189826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866874409008191 × 6371000     		do = 264.710529289954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45108623-0.45113416) × cos(0.52185670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866895127024538 × 6371000     		du = 264.716855785483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52189826)-sin(0.52185670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866874409008191-0.866895127024538)×R²
    abs(0.45113416-0.45108623)×2.07180163467324e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07180163467324e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07180163467324e-05×40589641000000     		ar = 70090.5632752551m²