Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74944 / 59838
↖ ↑ ↗
← N 15.458975°
E 25.839844°		 ← 294.38 m → N 15.458975°
E 25.842590°		 →
↑
294.34 m
↓
↑
294.34 m
↓
N 15.456328°
E 25.839844°		 ← 294.38 m →
86 647 m²		 N 15.456328°
E 25.842590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571781158447266 y=0.456531524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571781158447266 × 217)
    floor (0.571781158447266 × 131072)
    floor (74944.5)     		tx = 74944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456531524658203 × 217)
    floor (0.456531524658203 × 131072)
    floor (59838.5)     		ty = 59838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74944 / 59838 ti = "17/74944/59838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74944/59838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74944 ÷ 217
    74944 ÷ 131072     		x = 0.57177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59838 ÷ 217
    59838 ÷ 131072     		y = 0.456527709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57177734375 × 2 - 1) × π
    0.1435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45099035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456527709960938 × 2 - 1) × π
    0.086944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.27314445403508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45099035} λ = 0.45099035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27314445403508))-π/2
    2×atan(1.31409005672601)-π/2
    2×0.92030316733374-π/2
    1.84060633466748-1.57079632675     		φ = 0.26981001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45099035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26981001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.458975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74944 KachelY 59838 0.45099035 0.26981001 25.839844 15.458975
    Oben rechts KachelX + 1 74945 KachelY 59838 0.45103829 0.26981001 25.842590 15.458975
    Unten links KachelX 74944 KachelY + 1 59839 0.45099035 0.26976381 25.839844 15.456328
    Unten rechts KachelX + 1 74945 KachelY + 1 59839 0.45103829 0.26976381 25.842590 15.456328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26981001-0.26976381) × R
    4.61999999999962e-05 × 6371000     		dl = 294.340199999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26981001-0.26976381) × R
    4.61999999999962e-05 × 6371000     		dr = 294.340199999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45099035-0.45103829) × cos(0.26981001) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.963821555277009 × 6371000     		do = 294.375911748579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45099035-0.45103829) × cos(0.26976381) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.963833868781012 × 6371000     		du = 294.379672609651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26981001)-sin(0.26976381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963821555277009-0.963833868781012)×R²
    abs(0.45103829-0.45099035)×1.2313504002992e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.2313504002992e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.2313504002992e-05×40589641000000     		ar = 86647.2182409468m²