Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74942 / 54761
↖ ↑ ↗
← N 28.359985°
E 25.834351°		 ← 268.71 m → N 28.359985°
E 25.837097°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 28.357568°
E 25.834351°		 ← 268.72 m →
72 212 m²		 N 28.357568°
E 25.837097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571765899658203 y=0.417797088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571765899658203 × 217)
    floor (0.571765899658203 × 131072)
    floor (74942.5)     		tx = 74942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417797088623047 × 217)
    floor (0.417797088623047 × 131072)
    floor (54761.5)     		ty = 54761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74942 / 54761 ti = "17/74942/54761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74942/54761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74942 ÷ 217
    74942 ÷ 131072     		x = 0.571762084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54761 ÷ 217
    54761 ÷ 131072     		y = 0.417793273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571762084960938 × 2 - 1) × π
    0.143524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45089448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417793273925781 × 2 - 1) × π
    0.164413452148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.516520093406105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45089448} λ = 0.45089448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516520093406105))-π/2
    2×atan(1.67618452325327)-π/2
    2×1.03288571888849-π/2
    2.06577143777698-1.57079632675     		φ = 0.49497511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45089448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.834351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49497511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.359985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74942 KachelY 54761 0.45089448 0.49497511 25.834351 28.359985
    Oben rechts KachelX + 1 74943 KachelY 54761 0.45094241 0.49497511 25.837097 28.359985
    Unten links KachelX 74942 KachelY + 1 54762 0.45089448 0.49493293 25.834351 28.357568
    Unten rechts KachelX + 1 74943 KachelY + 1 54762 0.45094241 0.49493293 25.837097 28.357568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49497511-0.49493293) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49497511-0.49493293) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45089448-0.45094241) × cos(0.49497511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879980533101428 × 6371000     		do = 268.712641948499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45089448-0.45094241) × cos(0.49493293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880000568229812 × 6371000     		du = 268.718759915973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49497511)-sin(0.49493293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879980533101428-0.880000568229812)×R²
    abs(0.45094241-0.45089448)×2.00351283845546e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00351283845546e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00351283845546e-05×40589641000000     		ar = 72211.6424890707m²