Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74941 / 54760
↖ ↑ ↗
← N 28.362402°
E 25.831604°		 ← 268.76 m → N 28.362402°
E 25.834351°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 28.359985°
E 25.831604°		 ← 268.77 m →
72 225 m²		 N 28.359985°
E 25.834351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571758270263672 y=0.417789459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571758270263672 × 217)
    floor (0.571758270263672 × 131072)
    floor (74941.5)     		tx = 74941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417789459228516 × 217)
    floor (0.417789459228516 × 131072)
    floor (54760.5)     		ty = 54760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74941 / 54760 ti = "17/74941/54760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74941/54760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74941 ÷ 217
    74941 ÷ 131072     		x = 0.571754455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54760 ÷ 217
    54760 ÷ 131072     		y = 0.41778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571754455566406 × 2 - 1) × π
    0.143508911132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45084654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41778564453125 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.516568030305725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45084654} λ = 0.45084654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516568030305725))-π/2
    2×atan(1.67626487626843)-π/2
    2×1.03290681041758-π/2
    2.06581362083516-1.57079632675     		φ = 0.49501729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45084654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.831604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49501729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.362402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74941 KachelY 54760 0.45084654 0.49501729 25.831604 28.362402
    Oben rechts KachelX + 1 74942 KachelY 54760 0.45089448 0.49501729 25.834351 28.362402
    Unten links KachelX 74941 KachelY + 1 54761 0.45084654 0.49497511 25.831604 28.359985
    Unten rechts KachelX + 1 74942 KachelY + 1 54761 0.45089448 0.49497511 25.834351 28.359985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49501729-0.49497511) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49501729-0.49497511) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45084654-0.45089448) × cos(0.49501729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879960496407423 × 6371000     		do = 268.762585785828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45084654-0.45089448) × cos(0.49497511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879980533101428 × 6371000     		du = 268.768705507922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49501729)-sin(0.49497511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879960496407423-0.879980533101428)×R²
    abs(0.45089448-0.45084654)×2.00366940040775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00366940040775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00366940040775e-05×40589641000000     		ar = 72225.064071263m²