Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7494 / 7342
↖ ↑ ↗
← S 80.517603°
E149.326172°		 ← 805.02 m → S 80.517603°
E149.370117°		 →
↑
804.72 m
↓
↑
804.72 m
↓
S 80.524840°
E149.326172°		 ← 804.41 m →
647 574 m²		 S 80.524840°
E149.370117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91485595703125 y=0.89630126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91485595703125 × 213)
    floor (0.91485595703125 × 8192)
    floor (7494.5)     		tx = 7494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89630126953125 × 213)
    floor (0.89630126953125 × 8192)
    floor (7342.5)     		ty = 7342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7494 / 7342 ti = "13/7494/7342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7494/7342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7494 ÷ 213
    7494 ÷ 8192     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7342 ÷ 213
    7342 ÷ 8192     		y = 0.896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.79248046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48965081866724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48965081866724))-π/2
    2×atan(0.0829389222428959)-π/2
    2×0.0827495281089513-π/2
    0.165499056217903-1.57079632675     		φ = -1.40529727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40529727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.517603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7494 KachelY 7342 2.60623336 -1.40529727 149.326172 -80.517603
    Oben rechts KachelX + 1 7495 KachelY 7342 2.60700035 -1.40529727 149.370117 -80.517603
    Unten links KachelX 7494 KachelY + 1 7343 2.60623336 -1.40542358 149.326172 -80.524840
    Unten rechts KachelX + 1 7495 KachelY + 1 7343 2.60700035 -1.40542358 149.370117 -80.524840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40529727--1.40542358) × R
    0.000126309999999963 × 6371000     		dl = 804.721009999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40529727--1.40542358) × R
    0.000126309999999963 × 6371000     		dr = 804.721009999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60700035) × cos(-1.40529727) × R
    0.000766989999999801 × 0.164744589298741 × 6371000     		do = 805.023330171894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60700035) × cos(-1.40542358) × R
    0.000766989999999801 × 0.164620003851726 × 6371000     		du = 804.414544221023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40529727)-sin(-1.40542358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164744589298741-0.164620003851726)×R²
    abs(2.60700035-2.60623336)×0.000124585447015158×R²
    0.000766989999999801×0.000124585447015158×6371000²
    0.000766989999999801×0.000124585447015158×40589641000000     		ar = 647574.236767659m²