Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7494 / 5182
N 55.002826°
W 15.336914°
← 1 401.31 m → N 55.002826°
W 15.314941°

1 401.49 m

1 401.49 m
N 54.990222°
W 15.336914°
← 1 401.75 m →
1 964 232 m²
N 54.990222°
W 15.314941°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457427978515625 y=0.316314697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457427978515625 × 214)
    floor (0.457427978515625 × 16384)
    floor (7494.5)
    tx = 7494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316314697265625 × 214)
    floor (0.316314697265625 × 16384)
    floor (5182.5)
    ty = 5182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7494 / 5182 ti = "14/7494/5182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7494/5182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7494 ÷ 214
    7494 ÷ 16384
    x = 0.4573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5182 ÷ 214
    5182 ÷ 16384
    y = 0.3162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.4573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.085205078125 × 3.1415926535
    Λ = -0.26767965
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.3162841796875 × 2 - 1) × π
    0.367431640625 × 3.1415926535
    Φ = 1.15432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26767965} λ = -0.26767965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15432054285095))-π/2
    2×atan(3.17186753712243)-π/2
    2×1.26538836752889-π/2
    2.53077673505778-1.57079632675
    φ = 0.95998041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26767965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.336914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95998041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.002826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7494 KachelY 5182 -0.26767965 0.95998041 -15.336914 55.002826
    Oben rechts KachelX + 1 7495 KachelY 5182 -0.26729615 0.95998041 -15.314941 55.002826
    Unten links KachelX 7494 KachelY + 1 5183 -0.26767965 0.95976043 -15.336914 54.990222
    Unten rechts KachelX + 1 7495 KachelY + 1 5183 -0.26729615 0.95976043 -15.314941 54.990222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.95998041-0.95976043) × R
    0.000219980000000009 × 6371000
    dl = 1401.49258000005m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.95998041-0.95976043) × R
    0.000219980000000009 × 6371000
    dr = 1401.49258000005m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26767965--0.26729615) × cos(0.95998041) × R
    0.000383499999999981 × 0.573536033925229 × 6371000
    do = 1401.30826066471m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26767965--0.26729615) × cos(0.95976043) × R
    0.000383499999999981 × 0.573716223336356 × 6371000
    du = 1401.74851357885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.95998041)-sin(0.95976043))×
    abs(λ12)×abs(0.573536033925229-0.573716223336356)×
    abs(-0.26729615--0.26767965)×0.00018018941112663×
    0.000383499999999981×0.00018018941112663×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018018941112663×40589641000000
    ar = 1964231.64313265m²