Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74939 / 55297
↖ ↑ ↗
← N 27.056680°
E 25.826111°		 ← 271.94 m → N 27.056680°
E 25.828857°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
N 27.054234°
E 25.826111°		 ← 271.95 m →
73 963 m²		 N 27.054234°
E 25.828857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571743011474609 y=0.421886444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571743011474609 × 217)
    floor (0.571743011474609 × 131072)
    floor (74939.5)     		tx = 74939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421886444091797 × 217)
    floor (0.421886444091797 × 131072)
    floor (55297.5)     		ty = 55297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74939 / 55297 ti = "17/74939/55297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74939/55297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74939 ÷ 217
    74939 ÷ 131072     		x = 0.571739196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55297 ÷ 217
    55297 ÷ 131072     		y = 0.421882629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571739196777344 × 2 - 1) × π
    0.143478393554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.45075067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421882629394531 × 2 - 1) × π
    0.156234741210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.490825915209755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45075067} λ = 0.45075067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490825915209755))-π/2
    2×atan(1.63366493163265)-π/2
    2×1.02151223717799-π/2
    2.04302447435599-1.57079632675     		φ = 0.47222815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45075067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.826111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47222815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.056680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74939 KachelY 55297 0.45075067 0.47222815 25.826111 27.056680
    Oben rechts KachelX + 1 74940 KachelY 55297 0.45079860 0.47222815 25.828857 27.056680
    Unten links KachelX 74939 KachelY + 1 55298 0.45075067 0.47218546 25.826111 27.054234
    Unten rechts KachelX + 1 74940 KachelY + 1 55298 0.45079860 0.47218546 25.828857 27.054234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47222815-0.47218546) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47222815-0.47218546) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45075067-0.45079860) × cos(0.47222815) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.890556977291117 × 6371000     		do = 271.942286416131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45075067-0.45079860) × cos(0.47218546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.890576394952808 × 6371000     		du = 271.948215832723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47222815)-sin(0.47218546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890556977291117-0.890576394952808)×R²
    abs(0.45079860-0.45075067)×1.94176616916675e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94176616916675e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94176616916675e-05×40589641000000     		ar = 73963.1228021794m²