Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74938 / 55304
↖ ↑ ↗
← N 27.039557°
E 25.823364°		 ← 272.04 m → N 27.039557°
E 25.826111°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.037110°
E 25.823364°		 ← 272.05 m →
74 007 m²		 N 27.037110°
E 25.826111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571735382080078 y=0.421939849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571735382080078 × 217)
    floor (0.571735382080078 × 131072)
    floor (74938.5)     		tx = 74938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421939849853516 × 217)
    floor (0.421939849853516 × 131072)
    floor (55304.5)     		ty = 55304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74938 / 55304 ti = "17/74938/55304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74938/55304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74938 ÷ 217
    74938 ÷ 131072     		x = 0.571731567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55304 ÷ 217
    55304 ÷ 131072     		y = 0.42193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571731567382812 × 2 - 1) × π
    0.143463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45070273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42193603515625 × 2 - 1) × π
    0.1561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.490490356912415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45070273} λ = 0.45070273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490490356912415))-π/2
    2×atan(1.6331168337743)-π/2
    2×1.02136280888476-π/2
    2.04272561776953-1.57079632675     		φ = 0.47192929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45070273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.823364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47192929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.039557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74938 KachelY 55304 0.45070273 0.47192929 25.823364 27.039557
    Oben rechts KachelX + 1 74939 KachelY 55304 0.45075067 0.47192929 25.826111 27.039557
    Unten links KachelX 74938 KachelY + 1 55305 0.45070273 0.47188659 25.823364 27.037110
    Unten rechts KachelX + 1 74939 KachelY + 1 55305 0.45075067 0.47188659 25.826111 27.037110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47192929-0.47188659) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47192929-0.47188659) × R
    4.27000000000066e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45070273-0.45075067) × cos(0.47192929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890692880476496 × 6371000     		do = 272.040532132402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45070273-0.45075067) × cos(0.47188659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890712291320849 × 6371000     		du = 272.046460703903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47192929)-sin(0.47188659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890692880476496-0.890712291320849)×R²
    abs(0.45075067-0.45070273)×1.94108443529739e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94108443529739e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94108443529739e-05×40589641000000     		ar = 74007.1752507865m²