Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74938 / 54094
↖ ↑ ↗
← N 29.959694°
E 25.823364°		 ← 264.61 m → N 29.959694°
E 25.826111°		 →
↑
264.59 m
↓
↑
264.59 m
↓
N 29.957314°
E 25.823364°		 ← 264.62 m →
70 014 m²		 N 29.957314°
E 25.826111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571735382080078 y=0.412708282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571735382080078 × 217)
    floor (0.571735382080078 × 131072)
    floor (74938.5)     		tx = 74938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412708282470703 × 217)
    floor (0.412708282470703 × 131072)
    floor (54094.5)     		ty = 54094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74938 / 54094 ti = "17/74938/54094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74938/54094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74938 ÷ 217
    74938 ÷ 131072     		x = 0.571731567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54094 ÷ 217
    54094 ÷ 131072     		y = 0.412704467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571731567382812 × 2 - 1) × π
    0.143463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45070273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412704467773438 × 2 - 1) × π
    0.174591064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.548494005452682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45070273} λ = 0.45070273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548494005452682))-π/2
    2×atan(1.73064471281293)-π/2
    2×1.04684581336411-π/2
    2.09369162672821-1.57079632675     		φ = 0.52289530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45070273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.823364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52289530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.959694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74938 KachelY 54094 0.45070273 0.52289530 25.823364 29.959694
    Oben rechts KachelX + 1 74939 KachelY 54094 0.45075067 0.52289530 25.826111 29.959694
    Unten links KachelX 74938 KachelY + 1 54095 0.45070273 0.52285377 25.823364 29.957314
    Unten rechts KachelX + 1 74939 KachelY + 1 54095 0.45075067 0.52285377 25.826111 29.957314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52289530-0.52285377) × R
    4.15299999999563e-05 × 6371000     		dl = 264.587629999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52289530-0.52285377) × R
    4.15299999999563e-05 × 6371000     		dr = 264.587629999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45070273-0.45075067) × cos(0.52289530) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.866376927266162 × 6371000     		do = 264.613814129326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45070273-0.45075067) × cos(0.52285377) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.866397666212654 × 6371000     		du = 264.620148337406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52289530)-sin(0.52285377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866376927266162-0.866397666212654)×R²
    abs(0.45075067-0.45070273)×2.0738946492127e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0738946492127e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0738946492127e-05×40589641000000     		ar = 70014.3799323369m²