Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74937 / 54116
↖ ↑ ↗
← N 29.907329°
E 25.820617°		 ← 264.75 m → N 29.907329°
E 25.823364°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
N 29.904948°
E 25.820617°		 ← 264.76 m →
70 102 m²		 N 29.904948°
E 25.823364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571727752685547 y=0.412876129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571727752685547 × 217)
    floor (0.571727752685547 × 131072)
    floor (74937.5)     		tx = 74937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412876129150391 × 217)
    floor (0.412876129150391 × 131072)
    floor (54116.5)     		ty = 54116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74937 / 54116 ti = "17/74937/54116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74937/54116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74937 ÷ 217
    74937 ÷ 131072     		x = 0.571723937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54116 ÷ 217
    54116 ÷ 131072     		y = 0.412872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571723937988281 × 2 - 1) × π
    0.143447875976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45065479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412872314453125 × 2 - 1) × π
    0.17425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.547439393661041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45065479} λ = 0.45065479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547439393661041))-π/2
    2×atan(1.72882051657017)-π/2
    2×1.04638884744291-π/2
    2.09277769488582-1.57079632675     		φ = 0.52198137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45065479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.820617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52198137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.907329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74937 KachelY 54116 0.45065479 0.52198137 25.820617 29.907329
    Oben rechts KachelX + 1 74938 KachelY 54116 0.45070273 0.52198137 25.823364 29.907329
    Unten links KachelX 74937 KachelY + 1 54117 0.45065479 0.52193981 25.820617 29.904948
    Unten rechts KachelX + 1 74938 KachelY + 1 54117 0.45070273 0.52193981 25.823364 29.904948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52198137-0.52193981) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52198137-0.52193981) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45065479-0.45070273) × cos(0.52198137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866832973469636 × 6371000     		do = 264.75310237819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45065479-0.45070273) × cos(0.52193981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866853694480176 × 6371000     		du = 264.759431108168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52198137)-sin(0.52193981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866832973469636-0.866853694480176)×R²
    abs(0.45070273-0.45065479)×2.07210105398481e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07210105398481e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07210105398481e-05×40589641000000     		ar = 70101.8360205818m²