Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74933 / 54763
↖ ↑ ↗
← N 28.355151°
E 25.809632°		 ← 268.72 m → N 28.355151°
E 25.812378°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 28.352734°
E 25.809632°		 ← 268.73 m →
72 215 m²		 N 28.352734°
E 25.812378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571697235107422 y=0.417812347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571697235107422 × 217)
    floor (0.571697235107422 × 131072)
    floor (74933.5)     		tx = 74933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417812347412109 × 217)
    floor (0.417812347412109 × 131072)
    floor (54763.5)     		ty = 54763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74933 / 54763 ti = "17/74933/54763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74933/54763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74933 ÷ 217
    74933 ÷ 131072     		x = 0.571693420410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54763 ÷ 217
    54763 ÷ 131072     		y = 0.417808532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571693420410156 × 2 - 1) × π
    0.143386840820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45046305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417808532714844 × 2 - 1) × π
    0.164382934570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.516424219606865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45046305} λ = 0.45046305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516424219606865))-π/2
    2×atan(1.67602382877812)-π/2
    2×1.03284353438953-π/2
    2.06568706877905-1.57079632675     		φ = 0.49489074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45046305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.809632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49489074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.355151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74933 KachelY 54763 0.45046305 0.49489074 25.809632 28.355151
    Oben rechts KachelX + 1 74934 KachelY 54763 0.45051098 0.49489074 25.812378 28.355151
    Unten links KachelX 74933 KachelY + 1 54764 0.45046305 0.49484856 25.809632 28.352734
    Unten rechts KachelX + 1 74934 KachelY + 1 54764 0.45051098 0.49484856 25.812378 28.352734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49489074-0.49484856) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49489074-0.49484856) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45046305-0.45051098) × cos(0.49489074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880020606541897 × 6371000     		do = 268.724878855629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45046305-0.45051098) × cos(0.49484856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880040638538564 × 6371000     		du = 268.730995866797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49489074)-sin(0.49484856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880020606541897-0.880040638538564)×R²
    abs(0.45051098-0.45046305)×2.00319966675577e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00319966675577e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00319966675577e-05×40589641000000     		ar = 72214.9307696045m²