Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74931 / 55336
↖ ↑ ↗
← N 26.961246°
E 25.804138°		 ← 272.23 m → N 26.961246°
E 25.806885°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.958798°
E 25.804138°		 ← 272.24 m →
74 111 m²		 N 26.958798°
E 25.806885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571681976318359 y=0.422183990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571681976318359 × 217)
    floor (0.571681976318359 × 131072)
    floor (74931.5)     		tx = 74931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422183990478516 × 217)
    floor (0.422183990478516 × 131072)
    floor (55336.5)     		ty = 55336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74931 / 55336 ti = "17/74931/55336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74931/55336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74931 ÷ 217
    74931 ÷ 131072     		x = 0.571678161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55336 ÷ 217
    55336 ÷ 131072     		y = 0.42218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571678161621094 × 2 - 1) × π
    0.143356323242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45036717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42218017578125 × 2 - 1) × π
    0.1556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.488956376124573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45036717} λ = 0.45036717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488956376124573))-π/2
    2×atan(1.63061358438609)-π/2
    2×1.02067941795877-π/2
    2.04135883591753-1.57079632675     		φ = 0.47056251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45036717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.804138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47056251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.961246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74931 KachelY 55336 0.45036717 0.47056251 25.804138 26.961246
    Oben rechts KachelX + 1 74932 KachelY 55336 0.45041511 0.47056251 25.806885 26.961246
    Unten links KachelX 74931 KachelY + 1 55337 0.45036717 0.47051978 25.804138 26.958798
    Unten rechts KachelX + 1 74932 KachelY + 1 55337 0.45041511 0.47051978 25.806885 26.958798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47056251-0.47051978) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dl = 272.232829999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47056251-0.47051978) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dr = 272.232829999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45036717-0.45041511) × cos(0.47056251) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891313394090474 × 6371000     		do = 272.230052962131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45036717-0.45041511) × cos(0.47051978) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891332766534458 × 6371000     		du = 272.235969805171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47056251)-sin(0.47051978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891313394090474-0.891332766534458)×R²
    abs(0.45041511-0.45036717)×1.93724439839782e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93724439839782e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93724439839782e-05×40589641000000     		ar = 74110.763119573m²