Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74930 / 55333
↖ ↑ ↗
← N 26.968590°
E 25.801392°		 ← 272.16 m → N 26.968590°
E 25.804138°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.966142°
E 25.801392°		 ← 272.16 m →
74 090 m²		 N 26.966142°
E 25.804138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571674346923828 y=0.422161102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571674346923828 × 217)
    floor (0.571674346923828 × 131072)
    floor (74930.5)     		tx = 74930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422161102294922 × 217)
    floor (0.422161102294922 × 131072)
    floor (55333.5)     		ty = 55333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74930 / 55333 ti = "17/74930/55333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74930/55333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74930 ÷ 217
    74930 ÷ 131072     		x = 0.571670532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55333 ÷ 217
    55333 ÷ 131072     		y = 0.422157287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571670532226562 × 2 - 1) × π
    0.143341064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45031924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422157287597656 × 2 - 1) × π
    0.155685424804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.489100186823433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45031924} λ = 0.45031924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489100186823433))-π/2
    2×atan(1.63084810092782)-π/2
    2×1.02074350607031-π/2
    2.04148701214063-1.57079632675     		φ = 0.47069069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45031924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.801392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47069069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.968590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74930 KachelY 55333 0.45031924 0.47069069 25.801392 26.968590
    Oben rechts KachelX + 1 74931 KachelY 55333 0.45036717 0.47069069 25.804138 26.968590
    Unten links KachelX 74930 KachelY + 1 55334 0.45031924 0.47064796 25.801392 26.966142
    Unten rechts KachelX + 1 74931 KachelY + 1 55334 0.45036717 0.47064796 25.804138 26.966142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47069069-0.47064796) × R
    4.27300000000463e-05 × 6371000     		dl = 272.232830000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47069069-0.47064796) × R
    4.27300000000463e-05 × 6371000     		dr = 272.232830000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45031924-0.45036717) × cos(0.47069069) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891255271529241 × 6371000     		do = 272.155518962221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45031924-0.45036717) × cos(0.47064796) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891274648854959 × 6371000     		du = 272.161436061739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47069069)-sin(0.47064796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891255271529241-0.891274648854959)×R²
    abs(0.45036717-0.45031924)×1.93773257185503e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.93773257185503e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.93773257185503e-05×40589641000000     		ar = 74090.4725529367m²