Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7493 / 5181
↖ ↑ ↗
← N 55.015426°
W 15.358887°		 ← 1 400.83 m → N 55.015426°
W 15.336914°		 →
↑
1 401.05 m
↓
↑
1 401.05 m
↓
N 55.002826°
W 15.358887°		 ← 1 401.27 m →
1 962 939 m²		 N 55.002826°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457366943359375 y=0.316253662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457366943359375 × 214)
    floor (0.457366943359375 × 16384)
    floor (7493.5)     		tx = 7493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316253662109375 × 214)
    floor (0.316253662109375 × 16384)
    floor (5181.5)     		ty = 5181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7493 / 5181 ti = "14/7493/5181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7493/5181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7493 ÷ 214
    7493 ÷ 16384     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5181 ÷ 214
    5181 ÷ 16384     		y = 0.31622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31622314453125 × 2 - 1) × π
    0.3675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15470403804791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15470403804791))-π/2
    2×atan(3.17308416635914)-π/2
    2×1.26549832441295-π/2
    2.5309966488259-1.57079632675     		φ = 0.96020032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96020032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.015426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7493 KachelY 5181 -0.26806314 0.96020032 -15.358887 55.015426
    Oben rechts KachelX + 1 7494 KachelY 5181 -0.26767965 0.96020032 -15.336914 55.015426
    Unten links KachelX 7493 KachelY + 1 5182 -0.26806314 0.95998041 -15.358887 55.002826
    Unten rechts KachelX + 1 7494 KachelY + 1 5182 -0.26767965 0.95998041 -15.336914 55.002826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96020032-0.95998041) × R
    0.00021990999999999 × 6371000     		dl = 1401.04660999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96020032-0.95998041) × R
    0.00021990999999999 × 6371000     		dr = 1401.04660999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(0.96020032) × R
    0.000383489999999986 × 0.573355874111458 × 6371000     		do = 1400.83155156244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(0.95998041) × R
    0.000383489999999986 × 0.573536033925229 × 6371000     		du = 1401.27172068401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96020032)-sin(0.95998041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573355874111458-0.573536033925229)×R²
    abs(-0.26767965--0.26806314)×0.000180159813771508×R²
    0.000383489999999986×0.000180159813771508×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180159813771508×40589641000000     		ar = 1962938.65313554m²