Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7493 / 5178
↖ ↑ ↗
← N 55.053203°
W 15.358887°		 ← 1 399.51 m → N 55.053203°
W 15.336914°		 →
↑
1 399.77 m
↓
↑
1 399.77 m
↓
N 55.040614°
W 15.358887°		 ← 1 399.95 m →
1 959 305 m²		 N 55.040614°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457366943359375 y=0.316070556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457366943359375 × 214)
    floor (0.457366943359375 × 16384)
    floor (7493.5)     		tx = 7493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316070556640625 × 214)
    floor (0.316070556640625 × 16384)
    floor (5178.5)     		ty = 5178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7493 / 5178 ti = "14/7493/5178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7493/5178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7493 ÷ 214
    7493 ÷ 16384     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5178 ÷ 214
    5178 ÷ 16384     		y = 0.3160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3160400390625 × 2 - 1) × π
    0.367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15585452363879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15585452363879))-π/2
    2×atan(3.17673685475097)-π/2
    2×1.26582798782908-π/2
    2.53165597565815-1.57079632675     		φ = 0.96085965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96085965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.053203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7493 KachelY 5178 -0.26806314 0.96085965 -15.358887 55.053203
    Oben rechts KachelX + 1 7494 KachelY 5178 -0.26767965 0.96085965 -15.336914 55.053203
    Unten links KachelX 7493 KachelY + 1 5179 -0.26806314 0.96063994 -15.358887 55.040614
    Unten rechts KachelX + 1 7494 KachelY + 1 5179 -0.26767965 0.96063994 -15.336914 55.040614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96085965-0.96063994) × R
    0.000219709999999984 × 6371000     		dl = 1399.7724099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96085965-0.96063994) × R
    0.000219709999999984 × 6371000     		dr = 1399.7724099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(0.96085965) × R
    0.000383489999999986 × 0.572815556212419 × 6371000     		do = 1399.51143888021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(0.96063994) × R
    0.000383489999999986 × 0.572995635221152 × 6371000     		du = 1399.95141057771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96085965)-sin(0.96063994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572815556212419-0.572995635221152)×R²
    abs(-0.26767965--0.26806314)×0.000180079008732847×R²
    0.000383489999999986×0.000180079008732847×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180079008732847×40589641000000     		ar = 1959305.43762576m²