Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7493 / 5173
↖ ↑ ↗
← N 55.116085°
W 15.358887°		 ← 1 397.31 m → N 55.116085°
W 15.336914°		 →
↑
1 397.61 m
↓
↑
1 397.61 m
↓
N 55.103516°
W 15.358887°		 ← 1 397.75 m →
1 953 200 m²		 N 55.103516°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457366943359375 y=0.315765380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457366943359375 × 214)
    floor (0.457366943359375 × 16384)
    floor (7493.5)     		tx = 7493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315765380859375 × 214)
    floor (0.315765380859375 × 16384)
    floor (5173.5)     		ty = 5173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7493 / 5173 ti = "14/7493/5173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7493/5173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7493 ÷ 214
    7493 ÷ 16384     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5173 ÷ 214
    5173 ÷ 16384     		y = 0.31573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31573486328125 × 2 - 1) × π
    0.3685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1577719996236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1577719996236))-π/2
    2×atan(3.18283401509113)-π/2
    2×1.26637673640218-π/2
    2.53275347280437-1.57079632675     		φ = 0.96195715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96195715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.116085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7493 KachelY 5173 -0.26806314 0.96195715 -15.358887 55.116085
    Oben rechts KachelX + 1 7494 KachelY 5173 -0.26767965 0.96195715 -15.336914 55.116085
    Unten links KachelX 7493 KachelY + 1 5174 -0.26806314 0.96173778 -15.358887 55.103516
    Unten rechts KachelX + 1 7494 KachelY + 1 5174 -0.26767965 0.96173778 -15.336914 55.103516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96195715-0.96173778) × R
    0.000219370000000052 × 6371000     		dl = 1397.60627000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96195715-0.96173778) × R
    0.000219370000000052 × 6371000     		dr = 1397.60627000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(0.96195715) × R
    0.000383489999999986 × 0.571915607902615 × 6371000     		do = 1397.31267185946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(0.96173778) × R
    0.000383489999999986 × 0.572095546085041 × 6371000     		du = 1397.75229948805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96195715)-sin(0.96173778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571915607902615-0.572095546085041)×R²
    abs(-0.26767965--0.26806314)×0.00017993818242612×R²
    0.000383489999999986×0.00017993818242612×6371000²
    0.000383489999999986×0.00017993818242612×40589641000000     		ar = 1953200.17233975m²