Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7493 / 3765
↖ ↑ ↗
← N 69.248366°
W 15.358887°		 ← 865.67 m → N 69.248366°
W 15.336914°		 →
↑
865.88 m
↓
↑
865.88 m
↓
N 69.240578°
W 15.358887°		 ← 865.98 m →
749 707 m²		 N 69.240578°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457366943359375 y=0.229827880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457366943359375 × 214)
    floor (0.457366943359375 × 16384)
    floor (7493.5)     		tx = 7493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229827880859375 × 214)
    floor (0.229827880859375 × 16384)
    floor (3765.5)     		ty = 3765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7493 / 3765 ti = "14/7493/3765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7493/3765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7493 ÷ 214
    7493 ÷ 16384     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3765 ÷ 214
    3765 ÷ 16384     		y = 0.22979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22979736328125 × 2 - 1) × π
    0.5404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69773323694391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69773323694391))-π/2
    2×atan(5.46155330254734)-π/2
    2×1.38970415166942-π/2
    2.77940830333884-1.57079632675     		φ = 1.20861198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20861198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.248366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7493 KachelY 3765 -0.26806314 1.20861198 -15.358887 69.248366
    Oben rechts KachelX + 1 7494 KachelY 3765 -0.26767965 1.20861198 -15.336914 69.248366
    Unten links KachelX 7493 KachelY + 1 3766 -0.26806314 1.20847607 -15.358887 69.240578
    Unten rechts KachelX + 1 7494 KachelY + 1 3766 -0.26767965 1.20847607 -15.336914 69.240578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20861198-1.20847607) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dl = 865.882610000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20861198-1.20847607) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dr = 865.882610000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(1.20861198) × R
    0.000383489999999986 × 0.354317714461359 × 6371000     		do = 865.674280330958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26767965) × cos(1.20847607) × R
    0.000383489999999986 × 0.354444804041246 × 6371000     		du = 865.984787472193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20861198)-sin(1.20847607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354317714461359-0.354444804041246)×R²
    abs(-0.26767965--0.26806314)×0.000127089579886996×R²
    0.000383489999999986×0.000127089579886996×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127089579886996×40589641000000     		ar = 749706.737782484m²