Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74929 / 55365
↖ ↑ ↗
← N 26.890229°
E 25.798645°		 ← 272.40 m → N 26.890229°
E 25.801392°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
N 26.887780°
E 25.798645°		 ← 272.41 m →
74 192 m²		 N 26.887780°
E 25.801392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571666717529297 y=0.422405242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571666717529297 × 217)
    floor (0.571666717529297 × 131072)
    floor (74929.5)     		tx = 74929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422405242919922 × 217)
    floor (0.422405242919922 × 131072)
    floor (55365.5)     		ty = 55365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74929 / 55365 ti = "17/74929/55365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74929/55365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74929 ÷ 217
    74929 ÷ 131072     		x = 0.571662902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55365 ÷ 217
    55365 ÷ 131072     		y = 0.422401428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571662902832031 × 2 - 1) × π
    0.143325805664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45027130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422401428222656 × 2 - 1) × π
    0.155197143554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.487566206035591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45027130} λ = 0.45027130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487566206035591))-π/2
    2×atan(1.6283483290643)-π/2
    2×1.02005968422266-π/2
    2.04011936844531-1.57079632675     		φ = 0.46932304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45027130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.798645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46932304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.890229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74929 KachelY 55365 0.45027130 0.46932304 25.798645 26.890229
    Oben rechts KachelX + 1 74930 KachelY 55365 0.45031924 0.46932304 25.801392 26.890229
    Unten links KachelX 74929 KachelY + 1 55366 0.45027130 0.46928029 25.798645 26.887780
    Unten rechts KachelX + 1 74930 KachelY + 1 55366 0.45031924 0.46928029 25.801392 26.887780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46932304-0.46928029) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dl = 272.360250000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46932304-0.46928029) × R
    4.27500000000358e-05 × 6371000     		dr = 272.360250000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45027130-0.45031924) × cos(0.46932304) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891874669780012 × 6371000     		do = 272.401481004953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45027130-0.45031924) × cos(0.46928029) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891894004047272 × 6371000     		du = 272.407386187838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46932304)-sin(0.46928029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891874669780012-0.891894004047272)×R²
    abs(0.45031924-0.45027130)×1.93342672594188e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93342672594188e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93342672594188e-05×40589641000000     		ar = 74192.1396468403m²