Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74925 / 59825
↖ ↑ ↗
← N 15.493386°
E 25.787659°		 ← 294.33 m → N 15.493386°
E 25.790405°		 →
↑
294.28 m
↓
↑
294.28 m
↓
N 15.490739°
E 25.787659°		 ← 294.33 m →
86 614 m²		 N 15.490739°
E 25.790405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571636199951172 y=0.456432342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571636199951172 × 217)
    floor (0.571636199951172 × 131072)
    floor (74925.5)     		tx = 74925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456432342529297 × 217)
    floor (0.456432342529297 × 131072)
    floor (59825.5)     		ty = 59825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74925 / 59825 ti = "17/74925/59825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74925/59825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74925 ÷ 217
    74925 ÷ 131072     		x = 0.571632385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59825 ÷ 217
    59825 ÷ 131072     		y = 0.456428527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571632385253906 × 2 - 1) × π
    0.143264770507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45007955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456428527832031 × 2 - 1) × π
    0.0871429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.273767633730141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45007955} λ = 0.45007955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.273767633730141))-π/2
    2×atan(1.31490922618522)-π/2
    2×0.920603459386245-π/2
    1.84120691877249-1.57079632675     		φ = 0.27041059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45007955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.787659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27041059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.493386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74925 KachelY 59825 0.45007955 0.27041059 25.787659 15.493386
    Oben rechts KachelX + 1 74926 KachelY 59825 0.45012749 0.27041059 25.790405 15.493386
    Unten links KachelX 74925 KachelY + 1 59826 0.45007955 0.27036440 25.787659 15.490739
    Unten rechts KachelX + 1 74926 KachelY + 1 59826 0.45012749 0.27036440 25.790405 15.490739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27041059-0.27036440) × R
    4.61900000000015e-05 × 6371000     		dl = 294.27649000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27041059-0.27036440) × R
    4.61900000000015e-05 × 6371000     		dr = 294.27649000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45007955-0.45012749) × cos(0.27041059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.963661297870131 × 6371000     		do = 294.326965011493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45007955-0.45012749) × cos(0.27036440) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.963673635444216 × 6371000     		du = 294.330733224188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27041059)-sin(0.27036440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963661297870131-0.963673635444216)×R²
    abs(0.45012749-0.45007955)×1.23375740853637e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.23375740853637e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.23375740853637e-05×40589641000000     		ar = 86614.0606395226m²