Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74923 / 55357
↖ ↑ ↗
← N 26.909825°
E 25.782166°		 ← 272.30 m → N 26.909825°
E 25.784912°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
N 26.907375°
E 25.782166°		 ← 272.30 m →
74 164 m²		 N 26.907375°
E 25.784912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571620941162109 y=0.422344207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571620941162109 × 217)
    floor (0.571620941162109 × 131072)
    floor (74923.5)     		tx = 74923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422344207763672 × 217)
    floor (0.422344207763672 × 131072)
    floor (55357.5)     		ty = 55357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74923 / 55357 ti = "17/74923/55357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74923/55357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74923 ÷ 217
    74923 ÷ 131072     		x = 0.571617126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55357 ÷ 217
    55357 ÷ 131072     		y = 0.422340393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571617126464844 × 2 - 1) × π
    0.143234252929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.44998368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422340393066406 × 2 - 1) × π
    0.155319213867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.487949701232552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44998368} λ = 0.44998368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487949701232552))-π/2
    2×atan(1.62897291258221)-π/2
    2×1.02023068421501-π/2
    2.04046136843001-1.57079632675     		φ = 0.46966504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44998368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.782166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46966504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.909825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74923 KachelY 55357 0.44998368 0.46966504 25.782166 26.909825
    Oben rechts KachelX + 1 74924 KachelY 55357 0.45003161 0.46966504 25.784912 26.909825
    Unten links KachelX 74923 KachelY + 1 55358 0.44998368 0.46962229 25.782166 26.907375
    Unten rechts KachelX + 1 74924 KachelY + 1 55358 0.45003161 0.46962229 25.784912 26.907375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46966504-0.46962229) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dl = 272.360249999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46966504-0.46962229) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dr = 272.360249999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44998368-0.45003161) × cos(0.46966504) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891719936966464 × 6371000     		do = 272.297410143718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44998368-0.45003161) × cos(0.46962229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891739284272387 × 6371000     		du = 272.30331807633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46966504)-sin(0.46962229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891719936966464-0.891739284272387)×R²
    abs(0.45003161-0.44998368)×1.93473059234561e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93473059234561e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93473059234561e-05×40589641000000     		ar = 74163.7952553015m²