Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74922 / 56486
↖ ↑ ↗
← N 24.111661°
E 25.779419°		 ← 278.78 m → N 24.111661°
E 25.782166°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 24.109154°
E 25.779419°		 ← 278.78 m →
77 723 m²		 N 24.109154°
E 25.782166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571613311767578 y=0.430957794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571613311767578 × 217)
    floor (0.571613311767578 × 131072)
    floor (74922.5)     		tx = 74922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430957794189453 × 217)
    floor (0.430957794189453 × 131072)
    floor (56486.5)     		ty = 56486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74922 / 56486 ti = "17/74922/56486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74922/56486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74922 ÷ 217
    74922 ÷ 131072     		x = 0.571609497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56486 ÷ 217
    56486 ÷ 131072     		y = 0.430953979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571609497070312 × 2 - 1) × π
    0.143218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44993574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430953979492188 × 2 - 1) × π
    0.138092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.433828941561508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44993574} λ = 0.44993574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433828941561508))-π/2
    2×atan(1.54315487587466)-π/2
    2×0.995812101151011-π/2
    1.99162420230202-1.57079632675     		φ = 0.42082788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44993574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.779419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42082788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.111661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74922 KachelY 56486 0.44993574 0.42082788 25.779419 24.111661
    Oben rechts KachelX + 1 74923 KachelY 56486 0.44998368 0.42082788 25.782166 24.111661
    Unten links KachelX 74922 KachelY + 1 56487 0.44993574 0.42078412 25.779419 24.109154
    Unten rechts KachelX + 1 74923 KachelY + 1 56487 0.44998368 0.42078412 25.782166 24.109154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42082788-0.42078412) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42082788-0.42078412) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44993574-0.44998368) × cos(0.42082788) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912751050718143 × 6371000     		do = 278.777665101506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44993574-0.44998368) × cos(0.42078412) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912768926514926 × 6371000     		du = 278.783124829967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42082788)-sin(0.42078412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912751050718143-0.912768926514926)×R²
    abs(0.44998368-0.44993574)×1.7875796783362e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.7875796783362e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.7875796783362e-05×40589641000000     		ar = 77722.5690756889m²