Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7492 / 7378
↖ ↑ ↗
← S 80.774716°
E149.238281°		 ← 783.39 m → S 80.774716°
E149.282227°		 →
↑
783.12 m
↓
↑
783.12 m
↓
S 80.781758°
E149.238281°		 ← 782.79 m →
613 256 m²		 S 80.781758°
E149.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91461181640625 y=0.90069580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91461181640625 × 213)
    floor (0.91461181640625 × 8192)
    floor (7492.5)     		tx = 7492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90069580078125 × 213)
    floor (0.90069580078125 × 8192)
    floor (7378.5)     		ty = 7378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7492 / 7378 ti = "13/7492/7378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7492/7378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7492 ÷ 213
    7492 ÷ 8192     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7378 ÷ 213
    7378 ÷ 8192     		y = 0.900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.80126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51726247284839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51726247284839))-π/2
    2×atan(0.0806801688672682)-π/2
    2×0.0805057925392438-π/2
    0.161011585078488-1.57079632675     		φ = -1.40978474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40978474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.774716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7492 KachelY 7378 2.60469938 -1.40978474 149.238281 -80.774716
    Oben rechts KachelX + 1 7493 KachelY 7378 2.60546637 -1.40978474 149.282227 -80.774716
    Unten links KachelX 7492 KachelY + 1 7379 2.60469938 -1.40990766 149.238281 -80.781758
    Unten rechts KachelX + 1 7493 KachelY + 1 7379 2.60546637 -1.40990766 149.282227 -80.781758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40978474--1.40990766) × R
    0.000122919999999915 × 6371000     		dl = 783.12331999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40978474--1.40990766) × R
    0.000122919999999915 × 6371000     		dr = 783.12331999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60546637) × cos(-1.40978474) × R
    0.000766989999999801 × 0.160316791011568 × 6371000     		do = 783.386923552157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60546637) × cos(-1.40990766) × R
    0.000766989999999801 × 0.160195459695451 × 6371000     		du = 782.794038890081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40978474)-sin(-1.40990766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160316791011568-0.160195459695451)×R²
    abs(2.60546637-2.60469938)×0.000121331316117718×R²
    0.000766989999999801×0.000121331316117718×6371000²
    0.000766989999999801×0.000121331316117718×40589641000000     		ar = 613256.418283161m²