Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7492 / 7356
↖ ↑ ↗
← S 80.618424°
E149.238281°		 ← 796.54 m → S 80.618424°
E149.282227°		 →
↑
796.25 m
↓
↑
796.25 m
↓
S 80.625585°
E149.238281°		 ← 795.94 m →
634 004 m²		 S 80.625585°
E149.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91461181640625 y=0.89801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91461181640625 × 213)
    floor (0.91461181640625 × 8192)
    floor (7492.5)     		tx = 7492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89801025390625 × 213)
    floor (0.89801025390625 × 8192)
    floor (7356.5)     		ty = 7356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7492 / 7356 ti = "13/7492/7356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7492/7356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7492 ÷ 213
    7492 ÷ 8192     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7356 ÷ 213
    7356 ÷ 8192     		y = 0.89794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89794921875 × 2 - 1) × π
    -0.7958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50038868418213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50038868418213))-π/2
    2×atan(0.0820530996830521)-π/2
    2×0.0818696934009802-π/2
    0.16373938680196-1.57079632675     		φ = -1.40705694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40705694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.618424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7492 KachelY 7356 2.60469938 -1.40705694 149.238281 -80.618424
    Oben rechts KachelX + 1 7493 KachelY 7356 2.60546637 -1.40705694 149.282227 -80.618424
    Unten links KachelX 7492 KachelY + 1 7357 2.60469938 -1.40718192 149.238281 -80.625585
    Unten rechts KachelX + 1 7493 KachelY + 1 7357 2.60546637 -1.40718192 149.282227 -80.625585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40705694--1.40718192) × R
    0.000124980000000052 × 6371000     		dl = 796.247580000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40705694--1.40718192) × R
    0.000124980000000052 × 6371000     		dr = 796.247580000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60546637) × cos(-1.40705694) × R
    0.000766989999999801 × 0.163008708804902 × 6371000     		do = 796.54096178651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60546637) × cos(-1.40718192) × R
    0.000766989999999801 × 0.162885399185846 × 6371000     		du = 795.938410160403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40705694)-sin(-1.40718192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163008708804902-0.162885399185846)×R²
    abs(2.60546637-2.60469938)×0.000123309619055434×R²
    0.000766989999999801×0.000123309619055434×6371000²
    0.000766989999999801×0.000123309619055434×40589641000000     		ar = 634003.923882368m²