Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7492 / 3763
↖ ↑ ↗
← N 69.263930°
W 15.380859°		 ← 865.08 m → N 69.263930°
W 15.358887°		 →
↑
865.25 m
↓
↑
865.25 m
↓
N 69.256149°
W 15.380859°		 ← 865.39 m →
748 637 m²		 N 69.256149°
W 15.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457305908203125 y=0.229705810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457305908203125 × 214)
    floor (0.457305908203125 × 16384)
    floor (7492.5)     		tx = 7492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229705810546875 × 214)
    floor (0.229705810546875 × 16384)
    floor (3763.5)     		ty = 3763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7492 / 3763 ti = "14/7492/3763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7492/3763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7492 ÷ 214
    7492 ÷ 16384     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3763 ÷ 214
    3763 ÷ 16384     		y = 0.22967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22967529296875 × 2 - 1) × π
    0.5406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69850022733783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69850022733783))-π/2
    2×atan(5.46574386832269)-π/2
    2×1.3898399820939-π/2
    2.77967996418779-1.57079632675     		φ = 1.20888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.263930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7492 KachelY 3763 -0.26844664 1.20888364 -15.380859 69.263930
    Oben rechts KachelX + 1 7493 KachelY 3763 -0.26806314 1.20888364 -15.358887 69.263930
    Unten links KachelX 7492 KachelY + 1 3764 -0.26844664 1.20874783 -15.380859 69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 7493 KachelY + 1 3764 -0.26806314 1.20874783 -15.358887 69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20888364-1.20874783) × R
    0.000135809999999958 × 6371000     		dl = 865.245509999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20888364-1.20874783) × R
    0.000135809999999958 × 6371000     		dr = 865.245509999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26806314) × cos(1.20888364) × R
    0.000383500000000037 × 0.35406366530498 × 6371000     		do = 865.076141070936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26806314) × cos(1.20874783) × R
    0.000383500000000037 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 865.386459777124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20888364)-sin(1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35406366530498-0.354190674447077)×R²
    abs(-0.26806314--0.26844664)×0.000127009142096735×R²
    0.000383500000000037×0.000127009142096735×6371000²
    0.000383500000000037×0.000127009142096735×40589641000000     		ar = 748637.49895424m²