Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74919 / 54057
↖ ↑ ↗
← N 30.047699°
E 25.771179°		 ← 264.38 m → N 30.047699°
E 25.773926°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
N 30.045322°
E 25.771179°		 ← 264.39 m →
69 885 m²		 N 30.045322°
E 25.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571590423583984 y=0.412425994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571590423583984 × 217)
    floor (0.571590423583984 × 131072)
    floor (74919.5)     		tx = 74919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412425994873047 × 217)
    floor (0.412425994873047 × 131072)
    floor (54057.5)     		ty = 54057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74919 / 54057 ti = "17/74919/54057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74919/54057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74919 ÷ 217
    74919 ÷ 131072     		x = 0.571586608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54057 ÷ 217
    54057 ÷ 131072     		y = 0.412422180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571586608886719 × 2 - 1) × π
    0.143173217773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44979193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412422180175781 × 2 - 1) × π
    0.175155639648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.550267670738625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44979193} λ = 0.44979193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550267670738625))-π/2
    2×atan(1.73371702108018)-π/2
    2×1.04761380422729-π/2
    2.09522760845459-1.57079632675     		φ = 0.52443128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44979193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.771179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52443128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.047699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74919 KachelY 54057 0.44979193 0.52443128 25.771179 30.047699
    Oben rechts KachelX + 1 74920 KachelY 54057 0.44983987 0.52443128 25.773926 30.047699
    Unten links KachelX 74919 KachelY + 1 54058 0.44979193 0.52438979 25.771179 30.045322
    Unten rechts KachelX + 1 74920 KachelY + 1 54058 0.44983987 0.52438979 25.773926 30.045322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52443128-0.52438979) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dl = 264.332790000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52443128-0.52438979) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dr = 264.332790000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44979193-0.44983987) × cos(0.52443128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865608851526354 × 6371000     		do = 264.379224027813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44979193-0.44983987) × cos(0.52438979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865629625687161 × 6371000     		du = 264.385568991251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52443128)-sin(0.52438979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865608851526354-0.865629625687161)×R²
    abs(0.44983987-0.44979193)×2.07741608072576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07741608072576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07741608072576e-05×40589641000000     		ar = 69884.936506313m²