Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74917 / 54045
↖ ↑ ↗
← N 30.076225°
E 25.765686°		 ← 264.25 m → N 30.076225°
E 25.768432°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
N 30.073848°
E 25.765686°		 ← 264.25 m →
69 850 m²		 N 30.073848°
E 25.768432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571575164794922 y=0.412334442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571575164794922 × 217)
    floor (0.571575164794922 × 131072)
    floor (74917.5)     		tx = 74917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412334442138672 × 217)
    floor (0.412334442138672 × 131072)
    floor (54045.5)     		ty = 54045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74917 / 54045 ti = "17/74917/54045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74917/54045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74917 ÷ 217
    74917 ÷ 131072     		x = 0.571571350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54045 ÷ 217
    54045 ÷ 131072     		y = 0.412330627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571571350097656 × 2 - 1) × π
    0.143142700195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44969606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412330627441406 × 2 - 1) × π
    0.175338745117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.550842913534065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44969606} λ = 0.44969606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550842913534065))-π/2
    2×atan(1.73471461620809)-π/2
    2×1.04786273599214-π/2
    2.09572547198429-1.57079632675     		φ = 0.52492915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44969606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.765686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52492915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.076225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74917 KachelY 54045 0.44969606 0.52492915 25.765686 30.076225
    Oben rechts KachelX + 1 74918 KachelY 54045 0.44974399 0.52492915 25.768432 30.076225
    Unten links KachelX 74917 KachelY + 1 54046 0.44969606 0.52488766 25.765686 30.073848
    Unten rechts KachelX + 1 74918 KachelY + 1 54046 0.44974399 0.52488766 25.768432 30.073848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52492915-0.52488766) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dl = 264.332789999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52492915-0.52488766) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dr = 264.332789999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44969606-0.44974399) × cos(0.52492915) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.86535945039245 × 6371000     		do = 264.247918451378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44969606-0.44974399) × cos(0.52488766) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.865380242431455 × 6371000     		du = 264.254267550617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52492915)-sin(0.52488766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86535945039245-0.865380242431455)×R²
    abs(0.44974399-0.44969606)×2.07920390049576e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.07920390049576e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.07920390049576e-05×40589641000000     		ar = 69850.2286833866m²