Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74915 / 54113
↖ ↑ ↗
← N 29.914471°
E 25.760193°		 ← 264.73 m → N 29.914471°
E 25.762940°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
N 29.912091°
E 25.760193°		 ← 264.74 m →
70 080 m²		 N 29.912091°
E 25.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571559906005859 y=0.412853240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571559906005859 × 217)
    floor (0.571559906005859 × 131072)
    floor (74915.5)     		tx = 74915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412853240966797 × 217)
    floor (0.412853240966797 × 131072)
    floor (54113.5)     		ty = 54113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74915 / 54113 ti = "17/74915/54113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74915/54113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74915 ÷ 217
    74915 ÷ 131072     		x = 0.571556091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54113 ÷ 217
    54113 ÷ 131072     		y = 0.412849426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571556091308594 × 2 - 1) × π
    0.143112182617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44960018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412849426269531 × 2 - 1) × π
    0.174301147460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.547583204359901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44960018} λ = 0.44960018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547583204359901))-π/2
    2×atan(1.72906915733503)-π/2
    2×1.04645117513608-π/2
    2.09290235027215-1.57079632675     		φ = 0.52210602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44960018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.760193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52210602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.914471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74915 KachelY 54113 0.44960018 0.52210602 25.760193 29.914471
    Oben rechts KachelX + 1 74916 KachelY 54113 0.44964812 0.52210602 25.762940 29.914471
    Unten links KachelX 74915 KachelY + 1 54114 0.44960018 0.52206447 25.760193 29.912091
    Unten rechts KachelX + 1 74916 KachelY + 1 54114 0.44964812 0.52206447 25.762940 29.912091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52210602-0.52206447) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52210602-0.52206447) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44960018-0.44964812) × cos(0.52210602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866770816416022 × 6371000     		do = 264.734118014094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44960018-0.44964812) × cos(0.52206447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866791536930336 × 6371000     		du = 264.740446592512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52210602)-sin(0.52206447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866770816416022-0.866791536930336)×R²
    abs(0.44964812-0.44960018)×2.07205143142319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07205143142319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07205143142319e-05×40589641000000     		ar = 70079.9429317365m²