Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74914 / 54042
↖ ↑ ↗
← N 30.083355°
E 25.757446°		 ← 264.28 m → N 30.083355°
E 25.760193°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
N 30.080978°
E 25.757446°		 ← 264.29 m →
69 843 m²		 N 30.080978°
E 25.760193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571552276611328 y=0.412311553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571552276611328 × 217)
    floor (0.571552276611328 × 131072)
    floor (74914.5)     		tx = 74914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412311553955078 × 217)
    floor (0.412311553955078 × 131072)
    floor (54042.5)     		ty = 54042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74914 / 54042 ti = "17/74914/54042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74914/54042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74914 ÷ 217
    74914 ÷ 131072     		x = 0.571548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54042 ÷ 217
    54042 ÷ 131072     		y = 0.412307739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571548461914062 × 2 - 1) × π
    0.143096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44955224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412307739257812 × 2 - 1) × π
    0.175384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.550986724232925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44955224} λ = 0.44955224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550986724232925))-π/2
    2×atan(1.73496410466849)-π/2
    2×1.0479249577236-π/2
    2.09584991544721-1.57079632675     		φ = 0.52505359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44955224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52505359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.083355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74914 KachelY 54042 0.44955224 0.52505359 25.757446 30.083355
    Oben rechts KachelX + 1 74915 KachelY 54042 0.44960018 0.52505359 25.760193 30.083355
    Unten links KachelX 74914 KachelY + 1 54043 0.44955224 0.52501211 25.757446 30.080978
    Unten rechts KachelX + 1 74915 KachelY + 1 54043 0.44960018 0.52501211 25.760193 30.080978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52505359-0.52501211) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dl = 264.269079999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52505359-0.52501211) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dr = 264.269079999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44955224-0.44960018) × cos(0.52505359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.865297080375477 × 6371000     		do = 264.284001093652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44955224-0.44960018) × cos(0.52501211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.865317871870004 × 6371000     		du = 264.290351351254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52505359)-sin(0.52501211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865297080375477-0.865317871870004)×R²
    abs(0.44960018-0.44955224)×2.07914945271614e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07914945271614e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07914945271614e-05×40589641000000     		ar = 69842.9289260036m²