Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74912 / 54054
↖ ↑ ↗
← N 30.054831°
E 25.751953°		 ← 264.36 m → N 30.054831°
E 25.754700°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
N 30.052454°
E 25.751953°		 ← 264.37 m →
69 880 m²		 N 30.052454°
E 25.754700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571537017822266 y=0.412403106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571537017822266 × 217)
    floor (0.571537017822266 × 131072)
    floor (74912.5)     		tx = 74912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412403106689453 × 217)
    floor (0.412403106689453 × 131072)
    floor (54054.5)     		ty = 54054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74912 / 54054 ti = "17/74912/54054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74912/54054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74912 ÷ 217
    74912 ÷ 131072     		x = 0.571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54054 ÷ 217
    54054 ÷ 131072     		y = 0.412399291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571533203125 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412399291992188 × 2 - 1) × π
    0.175201416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.550411481437485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44945637} λ = 0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550411481437485))-π/2
    2×atan(1.73396636606542)-π/2
    2×1.04767604389308-π/2
    2.09535208778616-1.57079632675     		φ = 0.52455576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52455576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.054831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74912 KachelY 54054 0.44945637 0.52455576 25.751953 30.054831
    Oben rechts KachelX + 1 74913 KachelY 54054 0.44950431 0.52455576 25.754700 30.054831
    Unten links KachelX 74912 KachelY + 1 54055 0.44945637 0.52451427 25.751953 30.052454
    Unten rechts KachelX + 1 74913 KachelY + 1 54055 0.44950431 0.52451427 25.754700 30.052454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52455576-0.52451427) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dl = 264.332790000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52455576-0.52451427) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dr = 264.332790000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44945637-0.44950431) × cos(0.52455576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.865546515095331 × 6371000     		do = 264.360184877545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44945637-0.44950431) × cos(0.52451427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.86556729372662 × 6371000     		du = 264.366531206383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52455576)-sin(0.52451427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865546515095331-0.86556729372662)×R²
    abs(0.44950431-0.44945637)×2.0778631288576e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0778631288576e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0778631288576e-05×40589641000000     		ar = 69879.9040152987m²