Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74910 / 54056
↖ ↑ ↗
← N 30.050077°
E 25.746460°		 ← 264.32 m → N 30.050077°
E 25.749206°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
N 30.047699°
E 25.746460°		 ← 264.32 m →
69 886 m²		 N 30.047699°
E 25.749206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571521759033203 y=0.412418365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571521759033203 × 217)
    floor (0.571521759033203 × 131072)
    floor (74910.5)     		tx = 74910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412418365478516 × 217)
    floor (0.412418365478516 × 131072)
    floor (54056.5)     		ty = 54056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74910 / 54056 ti = "17/74910/54056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74910/54056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74910 ÷ 217
    74910 ÷ 131072     		x = 0.571517944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54056 ÷ 217
    54056 ÷ 131072     		y = 0.41241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571517944335938 × 2 - 1) × π
    0.143035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44936050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41241455078125 × 2 - 1) × π
    0.1751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.550315607638245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44936050} λ = 0.44936050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550315607638245))-π/2
    2×atan(1.73380013209102)-π/2
    2×1.04763455128058-π/2
    2.09526910256117-1.57079632675     		φ = 0.52447278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44936050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.746460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52447278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.050077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74910 KachelY 54056 0.44936050 0.52447278 25.746460 30.050077
    Oben rechts KachelX + 1 74911 KachelY 54056 0.44940843 0.52447278 25.749206 30.050077
    Unten links KachelX 74910 KachelY + 1 54057 0.44936050 0.52443128 25.746460 30.047699
    Unten rechts KachelX + 1 74911 KachelY + 1 54057 0.44940843 0.52443128 25.749206 30.047699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52447278-0.52443128) × R
    4.14999999999166e-05 × 6371000     		dl = 264.396499999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52447278-0.52443128) × R
    4.14999999999166e-05 × 6371000     		dr = 264.396499999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44936050-0.44940843) × cos(0.52447278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865588070867903 × 6371000     		do = 264.317730464169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44936050-0.44940843) × cos(0.52443128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865608851526354 × 6371000     		du = 264.324076088218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52447278)-sin(0.52443128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865588070867903-0.865608851526354)×R²
    abs(0.44940843-0.44936050)×2.07806584507919e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07806584507919e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07806584507919e-05×40589641000000     		ar = 69885.5217130236m²