Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7491 / 7363
↖ ↑ ↗
← S 80.668436°
E149.194336°		 ← 792.33 m → S 80.668436°
E149.238281°		 →
↑
792.04 m
↓
↑
792.04 m
↓
S 80.675559°
E149.194336°		 ← 791.73 m →
627 324 m²		 S 80.675559°
E149.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91448974609375 y=0.89886474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91448974609375 × 213)
    floor (0.91448974609375 × 8192)
    floor (7491.5)     		tx = 7491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89886474609375 × 213)
    floor (0.89886474609375 × 8192)
    floor (7363.5)     		ty = 7363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7491 / 7363 ti = "13/7491/7363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7491/7363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7491 ÷ 213
    7491 ÷ 8192     		x = 0.9144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7363 ÷ 213
    7363 ÷ 8192     		y = 0.8988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9144287109375 × 2 - 1) × π
    0.828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60393239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50575761693958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60393239} λ = 2.60393239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50575761693958))-π/2
    2×atan(0.0816137426030112)-π/2
    2×0.0814332590018612-π/2
    0.162866518003722-1.57079632675     		φ = -1.40792981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60393239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40792981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.668436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7491 KachelY 7363 2.60393239 -1.40792981 149.194336 -80.668436
    Oben rechts KachelX + 1 7492 KachelY 7363 2.60469938 -1.40792981 149.238281 -80.668436
    Unten links KachelX 7491 KachelY + 1 7364 2.60393239 -1.40805413 149.194336 -80.675559
    Unten rechts KachelX + 1 7492 KachelY + 1 7364 2.60469938 -1.40805413 149.238281 -80.675559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40792981--1.40805413) × R
    0.000124320000000067 × 6371000     		dl = 792.042720000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40792981--1.40805413) × R
    0.000124320000000067 × 6371000     		dr = 792.042720000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60393239-2.60469938) × cos(-1.40792981) × R
    0.000766989999999801 × 0.162147451774995 × 6371000     		do = 792.332435088907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60393239-2.60469938) × cos(-1.40805413) × R
    0.000766989999999801 × 0.162024775706063 × 6371000     		du = 791.732979301226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40792981)-sin(-1.40805413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162147451774995-0.162024775706063)×R²
    abs(2.60469938-2.60393239)×0.000122676068932209×R²
    0.000766989999999801×0.000122676068932209×6371000²
    0.000766989999999801×0.000122676068932209×40589641000000     		ar = 627323.740546664m²