Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7491 / 5395
↖ ↑ ↗
← N 76.135063°
W 97.701416°		 ← 292.73 m → N 76.135063°
W 97.690430°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
N 76.132429°
W 97.701416°		 ← 292.79 m →
85 723 m²		 N 76.132429°
W 97.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228622436523438 y=0.164657592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228622436523438 × 215)
    floor (0.228622436523438 × 32768)
    floor (7491.5)     		tx = 7491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164657592773438 × 215)
    floor (0.164657592773438 × 32768)
    floor (5395.5)     		ty = 5395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7491 / 5395 ti = "15/7491/5395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7491/5395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7491 ÷ 215
    7491 ÷ 32768     		x = 0.228607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5395 ÷ 215
    5395 ÷ 32768     		y = 0.164642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.54278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70521139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164642333984375 × 2 - 1) × π
    0.67071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10711435969919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70521139} λ = -1.70521139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10711435969919))-π/2
    2×atan(8.22447413537904)-π/2
    2×1.44980192248862-π/2
    2.89960384497725-1.57079632675     		φ = 1.32880752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70521139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.701416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32880752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.135063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7491 KachelY 5395 -1.70521139 1.32880752 -97.701416 76.135063
    Oben rechts KachelX + 1 7492 KachelY 5395 -1.70501965 1.32880752 -97.690430 76.135063
    Unten links KachelX 7491 KachelY + 1 5396 -1.70521139 1.32876156 -97.701416 76.132429
    Unten rechts KachelX + 1 7492 KachelY + 1 5396 -1.70501965 1.32876156 -97.690430 76.132429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32880752-1.32876156) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32880752-1.32876156) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70521139--1.70501965) × cos(1.32880752) × R
    0.000191739999999996 × 0.239633958619488 × 6371000     		do = 292.730982402932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70521139--1.70501965) × cos(1.32876156) × R
    0.000191739999999996 × 0.239678579244088 × 6371000     		du = 292.785489866523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32880752)-sin(1.32876156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239633958619488-0.239678579244088)×R²
    abs(-1.70501965--1.70521139)×4.46206246003111e-05×R²
    0.000191739999999996×4.46206246003111e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.46206246003111e-05×40589641000000     		ar = 85722.8787373033m²