Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7491 / 5187
↖ ↑ ↗
← N 54.939766°
W 15.402832°		 ← 1 403.47 m → N 54.939766°
W 15.380859°		 →
↑
1 403.72 m
↓
↑
1 403.72 m
↓
N 54.927142°
W 15.402832°		 ← 1 403.91 m →
1 970 397 m²		 N 54.927142°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457244873046875 y=0.316619873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457244873046875 × 214)
    floor (0.457244873046875 × 16384)
    floor (7491.5)     		tx = 7491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316619873046875 × 214)
    floor (0.316619873046875 × 16384)
    floor (5187.5)     		ty = 5187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7491 / 5187 ti = "14/7491/5187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7491/5187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7491 ÷ 214
    7491 ÷ 16384     		x = 0.45721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5187 ÷ 214
    5187 ÷ 16384     		y = 0.31658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26883013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31658935546875 × 2 - 1) × π
    0.3668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15240306686615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26883013} λ = -0.26883013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15240306686615))-π/2
    2×atan(3.16579138459299)-π/2
    2×1.26483806476951-π/2
    2.52967612953901-1.57079632675     		φ = 0.95887980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26883013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95887980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.939766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7491 KachelY 5187 -0.26883013 0.95887980 -15.402832 54.939766
    Oben rechts KachelX + 1 7492 KachelY 5187 -0.26844664 0.95887980 -15.380859 54.939766
    Unten links KachelX 7491 KachelY + 1 5188 -0.26883013 0.95865947 -15.402832 54.927142
    Unten rechts KachelX + 1 7492 KachelY + 1 5188 -0.26844664 0.95865947 -15.380859 54.927142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95887980-0.95865947) × R
    0.000220329999999991 × 6371000     		dl = 1403.72242999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95887980-0.95865947) × R
    0.000220329999999991 × 6371000     		dr = 1403.72242999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26883013--0.26844664) × cos(0.95887980) × R
    0.000383489999999986 × 0.57443728443517 × 6371000     		do = 1403.47366925939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26883013--0.26844664) × cos(0.95865947) × R
    0.000383489999999986 × 0.57461762130305 × 6371000     		du = 1403.91427096218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95887980)-sin(0.95865947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57443728443517-0.57461762130305)×R²
    abs(-0.26844664--0.26883013)×0.000180336867880881×R²
    0.000383489999999986×0.000180336867880881×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180336867880881×40589641000000     		ar = 1970396.71867158m²