Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7491 / 5179
↖ ↑ ↗
← N 55.040614°
W 15.402832°		 ← 1 399.95 m → N 55.040614°
W 15.380859°		 →
↑
1 400.15 m
↓
↑
1 400.15 m
↓
N 55.028022°
W 15.402832°		 ← 1 400.39 m →
1 960 457 m²		 N 55.028022°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457244873046875 y=0.316131591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457244873046875 × 214)
    floor (0.457244873046875 × 16384)
    floor (7491.5)     		tx = 7491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316131591796875 × 214)
    floor (0.316131591796875 × 16384)
    floor (5179.5)     		ty = 5179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7491 / 5179 ti = "14/7491/5179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7491/5179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7491 ÷ 214
    7491 ÷ 16384     		x = 0.45721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5179 ÷ 214
    5179 ÷ 16384     		y = 0.31610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26883013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31610107421875 × 2 - 1) × π
    0.3677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15547102844183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26883013} λ = -0.26883013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15547102844183))-π/2
    2×atan(3.17551882499438)-π/2
    2×1.2657181345575-π/2
    2.53143626911499-1.57079632675     		φ = 0.96063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26883013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.040614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7491 KachelY 5179 -0.26883013 0.96063994 -15.402832 55.040614
    Oben rechts KachelX + 1 7492 KachelY 5179 -0.26844664 0.96063994 -15.380859 55.040614
    Unten links KachelX 7491 KachelY + 1 5180 -0.26883013 0.96042017 -15.402832 55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 7492 KachelY + 1 5180 -0.26844664 0.96042017 -15.380859 55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96063994-0.96042017) × R
    0.000219769999999953 × 6371000     		dl = 1400.1546699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96063994-0.96042017) × R
    0.000219769999999953 × 6371000     		dr = 1400.1546699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26883013--0.26844664) × cos(0.96063994) × R
    0.000383489999999986 × 0.572995635221152 × 6371000     		do = 1399.95141057771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26883013--0.26844664) × cos(0.96042017) × R
    0.000383489999999986 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 1400.39143481906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96063994)-sin(0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572995635221152-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.26844664--0.26883013)×0.000180100514759474×R²
    0.000383489999999986×0.000180100514759474×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180100514759474×40589641000000     		ar = 1960456.56418189m²