Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7491 / 3764
↖ ↑ ↗
← N 69.256149°
W 15.402832°		 ← 865.36 m → N 69.256149°
W 15.380859°		 →
↑
865.50 m
↓
↑
865.50 m
↓
N 69.248366°
W 15.402832°		 ← 865.67 m →
749 107 m²		 N 69.248366°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457244873046875 y=0.229766845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457244873046875 × 214)
    floor (0.457244873046875 × 16384)
    floor (7491.5)     		tx = 7491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229766845703125 × 214)
    floor (0.229766845703125 × 16384)
    floor (3764.5)     		ty = 3764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7491 / 3764 ti = "14/7491/3764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7491/3764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7491 ÷ 214
    7491 ÷ 16384     		x = 0.45721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3764 ÷ 214
    3764 ÷ 16384     		y = 0.229736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26883013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229736328125 × 2 - 1) × π
    0.54052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69811673214087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26883013} λ = -0.26883013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69811673214087))-π/2
    2×atan(5.46364818366956)-π/2
    2×1.38977207906002-π/2
    2.77954415812005-1.57079632675     		φ = 1.20874783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26883013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.402832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20874783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.256149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7491 KachelY 3764 -0.26883013 1.20874783 -15.402832 69.256149
    Oben rechts KachelX + 1 7492 KachelY 3764 -0.26844664 1.20874783 -15.380859 69.256149
    Unten links KachelX 7491 KachelY + 1 3765 -0.26883013 1.20861198 -15.402832 69.248366
    Unten rechts KachelX + 1 7492 KachelY + 1 3765 -0.26844664 1.20861198 -15.380859 69.248366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20874783-1.20861198) × R
    0.000135850000000159 × 6371000     		dl = 865.500350001016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20874783-1.20861198) × R
    0.000135850000000159 × 6371000     		dr = 865.500350001016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26883013--0.26844664) × cos(1.20874783) × R
    0.000383489999999986 × 0.354190674447077 × 6371000     		do = 865.363894289142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26883013--0.26844664) × cos(1.20861198) × R
    0.000383489999999986 × 0.354317714461359 × 6371000     		du = 865.674280330958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20874783)-sin(1.20861198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354190674447077-0.354317714461359)×R²
    abs(-0.26844664--0.26883013)×0.000127040014282376×R²
    0.000383489999999986×0.000127040014282376×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127040014282376×40589641000000     		ar = 749107.074152553m²