Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74903 / 54799
↖ ↑ ↗
← N 28.268101°
E 25.727234°		 ← 269 m → N 28.268101°
E 25.729981°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.265682°
E 25.727234°		 ← 269.01 m →
72 358 m²		 N 28.265682°
E 25.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571468353271484 y=0.418087005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571468353271484 × 217)
    floor (0.571468353271484 × 131072)
    floor (74903.5)     		tx = 74903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418087005615234 × 217)
    floor (0.418087005615234 × 131072)
    floor (54799.5)     		ty = 54799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74903 / 54799 ti = "17/74903/54799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74903/54799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74903 ÷ 217
    74903 ÷ 131072     		x = 0.571464538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54799 ÷ 217
    54799 ÷ 131072     		y = 0.418083190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571464538574219 × 2 - 1) × π
    0.142929077148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44902494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418083190917969 × 2 - 1) × π
    0.163833618164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.514698491220543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44902494} λ = 0.44902494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514698491220543))-π/2
    2×atan(1.67313396116114)-π/2
    2×1.03208388514636-π/2
    2.06416777029273-1.57079632675     		φ = 0.49337144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44902494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.727234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49337144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.268101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74903 KachelY 54799 0.44902494 0.49337144 25.727234 28.268101
    Oben rechts KachelX + 1 74904 KachelY 54799 0.44907288 0.49337144 25.729981 28.268101
    Unten links KachelX 74903 KachelY + 1 54800 0.44902494 0.49332922 25.727234 28.265682
    Unten rechts KachelX + 1 74904 KachelY + 1 54800 0.44907288 0.49332922 25.729981 28.265682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49337144-0.49332922) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49337144-0.49332922) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44902494-0.44907288) × cos(0.49337144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880741160110608 × 6371000     		do = 269.001020575376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44902494-0.44907288) × cos(0.49332922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880761154630661 × 6371000     		du = 269.007127416459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49337144)-sin(0.49332922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880741160110608-0.880761154630661)×R²
    abs(0.44907288-0.44902494)×1.99945200529683e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99945200529683e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99945200529683e-05×40589641000000     		ar = 72357.6896289011m²