Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74902 / 56476
↖ ↑ ↗
← N 24.136728°
E 25.724487°		 ← 278.72 m → N 24.136728°
E 25.727234°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
N 24.134222°
E 25.724487°		 ← 278.73 m →
77 690 m²		 N 24.134222°
E 25.727234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571460723876953 y=0.430881500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571460723876953 × 217)
    floor (0.571460723876953 × 131072)
    floor (74902.5)     		tx = 74902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430881500244141 × 217)
    floor (0.430881500244141 × 131072)
    floor (56476.5)     		ty = 56476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74902 / 56476 ti = "17/74902/56476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74902/56476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74902 ÷ 217
    74902 ÷ 131072     		x = 0.571456909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56476 ÷ 217
    56476 ÷ 131072     		y = 0.430877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571456909179688 × 2 - 1) × π
    0.142913818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44897700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430877685546875 × 2 - 1) × π
    0.13824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.434308310557709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44897700} λ = 0.44897700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434308310557709))-π/2
    2×atan(1.54389479381118)-π/2
    2×0.996030852002263-π/2
    1.99206170400453-1.57079632675     		φ = 0.42126538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44897700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.724487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42126538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.136728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74902 KachelY 56476 0.44897700 0.42126538 25.724487 24.136728
    Oben rechts KachelX + 1 74903 KachelY 56476 0.44902494 0.42126538 25.727234 24.136728
    Unten links KachelX 74902 KachelY + 1 56477 0.44897700 0.42122163 25.724487 24.134222
    Unten rechts KachelX + 1 74903 KachelY + 1 56477 0.44902494 0.42122163 25.727234 24.134222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42126538-0.42122163) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dl = 278.731250000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42126538-0.42122163) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dr = 278.731250000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44897700-0.44902494) × cos(0.42126538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912572237515145 × 6371000     		do = 278.723050946336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44897700-0.44902494) × cos(0.42122163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912590126696251 × 6371000     		du = 278.728514762714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42126538)-sin(0.42122163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912572237515145-0.912590126696251)×R²
    abs(0.44902494-0.44897700)×1.78891811060122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78891811060122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78891811060122e-05×40589641000000     		ar = 77689.5858746495m²