Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7490 / 7864
↖ ↑ ↗
← N 79.504660°
W138.856201°		 ← 111.27 m → N 79.504660°
W138.850708°		 →
↑
111.24 m
↓
↑
111.24 m
↓
N 79.503659°
W138.856201°		 ← 111.28 m →
12 378 m²		 N 79.503659°
W138.850708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114295959472656 y=0.120002746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114295959472656 × 216)
    floor (0.114295959472656 × 65536)
    floor (7490.5)     		tx = 7490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120002746582031 × 216)
    floor (0.120002746582031 × 65536)
    floor (7864.5)     		ty = 7864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7490 / 7864 ti = "16/7490/7864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7490/7864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7490 ÷ 216
    7490 ÷ 65536     		x = 0.114288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7864 ÷ 216
    7864 ÷ 65536     		y = 0.1199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.77142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42349790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1199951171875 × 2 - 1) × π
    0.760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38764109627576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42349790} λ = -2.42349790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38764109627576))-π/2
    2×atan(10.8877804013433)-π/2
    2×1.4792072049376-π/2
    2.9584144098752-1.57079632675     		φ = 1.38761808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42349790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.856201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38761808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.504660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7490 KachelY 7864 -2.42349790 1.38761808 -138.856201 79.504660
    Oben rechts KachelX + 1 7491 KachelY 7864 -2.42340202 1.38761808 -138.850708 79.504660
    Unten links KachelX 7490 KachelY + 1 7865 -2.42349790 1.38760062 -138.856201 79.503659
    Unten rechts KachelX + 1 7491 KachelY + 1 7865 -2.42340202 1.38760062 -138.850708 79.503659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38761808-1.38760062) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dl = 111.237660000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38761808-1.38760062) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dr = 111.237660000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42349790--2.42340202) × cos(1.38761808) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182155562014126 × 6371000     		do = 111.269994646488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42349790--2.42340202) × cos(1.38760062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182172729875751 × 6371000     		du = 111.28048166017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38761808)-sin(1.38760062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182155562014126-0.182172729875751)×R²
    abs(-2.42340202--2.42349790)×1.71678616247006e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71678616247006e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71678616247006e-05×40589641000000     		ar = 12377.9971083168m²