Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7490 / 7386
↖ ↑ ↗
← S 80.830907°
E149.150391°		 ← 778.66 m → S 80.830907°
E149.194336°		 →
↑
778.35 m
↓
↑
778.35 m
↓
S 80.837907°
E149.150391°		 ← 778.07 m →
605 834 m²		 S 80.837907°
E149.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91436767578125 y=0.90167236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91436767578125 × 213)
    floor (0.91436767578125 × 8192)
    floor (7490.5)     		tx = 7490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90167236328125 × 213)
    floor (0.90167236328125 × 8192)
    floor (7386.5)     		ty = 7386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7490 / 7386 ti = "13/7490/7386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7490/7386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7490 ÷ 213
    7490 ÷ 8192     		x = 0.914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7386 ÷ 213
    7386 ÷ 8192     		y = 0.901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914306640625 × 2 - 1) × π
    0.82861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60316540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.80322265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52339839599976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60316540} λ = 2.60316540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52339839599976))-π/2
    2×atan(0.0801866372357772)-π/2
    2×0.0800154333123203-π/2
    0.160030866624641-1.57079632675     		φ = -1.41076546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60316540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41076546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7490 KachelY 7386 2.60316540 -1.41076546 149.150391 -80.830907
    Oben rechts KachelX + 1 7491 KachelY 7386 2.60393239 -1.41076546 149.194336 -80.830907
    Unten links KachelX 7490 KachelY + 1 7387 2.60316540 -1.41088763 149.150391 -80.837907
    Unten rechts KachelX + 1 7491 KachelY + 1 7387 2.60393239 -1.41088763 149.194336 -80.837907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41076546--1.41088763) × R
    0.000122170000000033 × 6371000     		dl = 778.345070000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41076546--1.41088763) × R
    0.000122170000000033 × 6371000     		dr = 778.345070000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60316540-2.60393239) × cos(-1.41076546) × R
    0.000766990000000245 × 0.159348679080418 × 6371000     		do = 778.656251097073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60316540-2.60393239) × cos(-1.41088763) × R
    0.000766990000000245 × 0.159228068935173 × 6371000     		du = 778.06689043163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41076546)-sin(-1.41088763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159348679080418-0.159228068935173)×R²
    abs(2.60393239-2.60316540)×0.000120610145244254×R²
    0.000766990000000245×0.000120610145244254×6371000²
    0.000766990000000245×0.000120610145244254×40589641000000     		ar = 605833.892036907m²