Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7490 / 5186
↖ ↑ ↗
← N 54.952386°
W 15.424805°		 ← 1 403.07 m → N 54.952386°
W 15.402832°		 →
↑
1 403.28 m
↓
↑
1 403.28 m
↓
N 54.939766°
W 15.424805°		 ← 1 403.51 m →
1 969 204 m²		 N 54.939766°
W 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457183837890625 y=0.316558837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457183837890625 × 214)
    floor (0.457183837890625 × 16384)
    floor (7490.5)     		tx = 7490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316558837890625 × 214)
    floor (0.316558837890625 × 16384)
    floor (5186.5)     		ty = 5186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7490 / 5186 ti = "14/7490/5186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7490/5186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7490 ÷ 214
    7490 ÷ 16384     		x = 0.4571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5186 ÷ 214
    5186 ÷ 16384     		y = 0.3165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26921363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3165283203125 × 2 - 1) × π
    0.366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15278656206311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26921363} λ = -0.26921363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15278656206311))-π/2
    2×atan(3.16700568320753)-π/2
    2×1.26494819445168-π/2
    2.52989638890335-1.57079632675     		φ = 0.95910006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26921363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95910006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.952386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7490 KachelY 5186 -0.26921363 0.95910006 -15.424805 54.952386
    Oben rechts KachelX + 1 7491 KachelY 5186 -0.26883013 0.95910006 -15.402832 54.952386
    Unten links KachelX 7490 KachelY + 1 5187 -0.26921363 0.95887980 -15.424805 54.939766
    Unten rechts KachelX + 1 7491 KachelY + 1 5187 -0.26883013 0.95887980 -15.402832 54.939766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95910006-0.95887980) × R
    0.000220260000000083 × 6371000     		dl = 1403.27646000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95910006-0.95887980) × R
    0.000220260000000083 × 6371000     		dr = 1403.27646000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26921363--0.26883013) × cos(0.95910006) × R
    0.000383499999999981 × 0.574256976988312 × 6371000     		do = 1403.06972535047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26921363--0.26883013) × cos(0.95887980) × R
    0.000383499999999981 × 0.57443728443517 × 6371000     		du = 1403.51026665877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95910006)-sin(0.95887980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574256976988312-0.57443728443517)×R²
    abs(-0.26883013--0.26921363)×0.000180307446857708×R²
    0.000383499999999981×0.000180307446857708×6371000²
    0.000383499999999981×0.000180307446857708×40589641000000     		ar = 1969203.82590771m²