Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74897 / 54802
↖ ↑ ↗
← N 28.260844°
E 25.710755°		 ← 268.96 m → N 28.260844°
E 25.713501°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.258425°
E 25.710755°		 ← 268.97 m →
72 348 m²		 N 28.258425°
E 25.713501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571422576904297 y=0.418109893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571422576904297 × 217)
    floor (0.571422576904297 × 131072)
    floor (74897.5)     		tx = 74897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418109893798828 × 217)
    floor (0.418109893798828 × 131072)
    floor (54802.5)     		ty = 54802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74897 / 54802 ti = "17/74897/54802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74897/54802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74897 ÷ 217
    74897 ÷ 131072     		x = 0.571418762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54802 ÷ 217
    54802 ÷ 131072     		y = 0.418106079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571418762207031 × 2 - 1) × π
    0.142837524414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44873732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418106079101562 × 2 - 1) × π
    0.163787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.514554680521683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44873732} λ = 0.44873732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514554680521683))-π/2
    2×atan(1.67289336389754)-π/2
    2×1.03202055298907-π/2
    2.06404110597815-1.57079632675     		φ = 0.49324478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44873732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.710755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49324478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.260844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74897 KachelY 54802 0.44873732 0.49324478 25.710755 28.260844
    Oben rechts KachelX + 1 74898 KachelY 54802 0.44878525 0.49324478 25.713501 28.260844
    Unten links KachelX 74897 KachelY + 1 54803 0.44873732 0.49320256 25.710755 28.258425
    Unten rechts KachelX + 1 74898 KachelY + 1 54803 0.44878525 0.49320256 25.713501 28.258425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49324478-0.49320256) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49324478-0.49320256) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44873732-0.44878525) × cos(0.49324478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880801138960786 × 6371000     		do = 268.963223819542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44873732-0.44878525) × cos(0.49320256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880821128770786 × 6371000     		du = 268.969327948503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49324478)-sin(0.49320256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880801138960786-0.880821128770786)×R²
    abs(0.44878525-0.44873732)×1.99898100006202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99898100006202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99898100006202e-05×40589641000000     		ar = 72347.522555903m²