Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74895 / 56479
↖ ↑ ↗
← N 24.129209°
E 25.705261°		 ← 278.74 m → N 24.129209°
E 25.708008°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
N 24.126702°
E 25.705261°		 ← 278.74 m →
77 694 m²		 N 24.126702°
E 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571407318115234 y=0.430904388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571407318115234 × 217)
    floor (0.571407318115234 × 131072)
    floor (74895.5)     		tx = 74895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430904388427734 × 217)
    floor (0.430904388427734 × 131072)
    floor (56479.5)     		ty = 56479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74895 / 56479 ti = "17/74895/56479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74895/56479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74895 ÷ 217
    74895 ÷ 131072     		x = 0.571403503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56479 ÷ 217
    56479 ÷ 131072     		y = 0.430900573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571403503417969 × 2 - 1) × π
    0.142807006835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.44864144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430900573730469 × 2 - 1) × π
    0.138198852539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.434164499858849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44864144} λ = 0.44864144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434164499858849))-π/2
    2×atan(1.5436727811862)-π/2
    2×0.995965231247308-π/2
    1.99193046249462-1.57079632675     		φ = 0.42113414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44864144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.705261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42113414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.129209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74895 KachelY 56479 0.44864144 0.42113414 25.705261 24.129209
    Oben rechts KachelX + 1 74896 KachelY 56479 0.44868938 0.42113414 25.708008 24.129209
    Unten links KachelX 74895 KachelY + 1 56480 0.44864144 0.42109039 25.705261 24.126702
    Unten rechts KachelX + 1 74896 KachelY + 1 56480 0.44868938 0.42109039 25.708008 24.126702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42113414-0.42109039) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dl = 278.731250000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42113414-0.42109039) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dr = 278.731250000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44864144-0.44868938) × cos(0.42113414) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912625895730208 × 6371000     		do = 278.739439546702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44864144-0.44868938) × cos(0.42109039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912643779671347 × 6371000     		du = 278.744901762658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42113414)-sin(0.42109039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912625895730208-0.912643779671347)×R²
    abs(0.44868938-0.44864144)×1.78839411388854e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78839411388854e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78839411388854e-05×40589641000000     		ar = 77694.1536667091m²