Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74893 / 56465
↖ ↑ ↗
← N 24.164296°
E 25.699768°		 ← 278.66 m → N 24.164296°
E 25.702515°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
N 24.161790°
E 25.699768°		 ← 278.67 m →
77 655 m²		 N 24.161790°
E 25.702515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571392059326172 y=0.430797576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571392059326172 × 217)
    floor (0.571392059326172 × 131072)
    floor (74893.5)     		tx = 74893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430797576904297 × 217)
    floor (0.430797576904297 × 131072)
    floor (56465.5)     		ty = 56465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74893 / 56465 ti = "17/74893/56465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74893/56465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74893 ÷ 217
    74893 ÷ 131072     		x = 0.571388244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56465 ÷ 217
    56465 ÷ 131072     		y = 0.430793762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571388244628906 × 2 - 1) × π
    0.142776489257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.44854557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430793762207031 × 2 - 1) × π
    0.138412475585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.434835616453529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44854557} λ = 0.44854557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434835616453529))-π/2
    2×atan(1.54470911331736)-π/2
    2×0.996271428415977-π/2
    1.99254285683195-1.57079632675     		φ = 0.42174653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44854557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.699768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42174653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.164296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74893 KachelY 56465 0.44854557 0.42174653 25.699768 24.164296
    Oben rechts KachelX + 1 74894 KachelY 56465 0.44859351 0.42174653 25.702515 24.164296
    Unten links KachelX 74893 KachelY + 1 56466 0.44854557 0.42170279 25.699768 24.161790
    Unten rechts KachelX + 1 74894 KachelY + 1 56466 0.44859351 0.42170279 25.702515 24.161790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42174653-0.42170279) × R
    4.37400000000143e-05 × 6371000     		dl = 278.667540000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42174653-0.42170279) × R
    4.37400000000143e-05 × 6371000     		dr = 278.667540000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44854557-0.44859351) × cos(0.42174653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912375382182437 × 6371000     		do = 278.662926260671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44854557-0.44859351) × cos(0.42170279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912393286478444 × 6371000     		du = 278.668394693528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42174653)-sin(0.42170279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912375382182437-0.912393286478444)×R²
    abs(0.44859351-0.44854557)×1.79042960070097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79042960070097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79042960070097e-05×40589641000000     		ar = 77655.0741000295m²