Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74890 / 56469
↖ ↑ ↗
← N 24.154272°
E 25.691528°		 ← 278.68 m → N 24.154272°
E 25.694275°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
N 24.151766°
E 25.691528°		 ← 278.69 m →
77 661 m²		 N 24.151766°
E 25.694275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571369171142578 y=0.430828094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571369171142578 × 217)
    floor (0.571369171142578 × 131072)
    floor (74890.5)     		tx = 74890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430828094482422 × 217)
    floor (0.430828094482422 × 131072)
    floor (56469.5)     		ty = 56469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74890 / 56469 ti = "17/74890/56469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74890/56469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74890 ÷ 217
    74890 ÷ 131072     		x = 0.571365356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56469 ÷ 217
    56469 ÷ 131072     		y = 0.430824279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571365356445312 × 2 - 1) × π
    0.142730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44840176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430824279785156 × 2 - 1) × π
    0.138351440429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.434643868855049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44840176} λ = 0.44840176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434643868855049))-π/2
    2×atan(1.54441294744998)-π/2
    2×0.996183952089117-π/2
    1.99236790417823-1.57079632675     		φ = 0.42157158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44840176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.691528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42157158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.154272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74890 KachelY 56469 0.44840176 0.42157158 25.691528 24.154272
    Oben rechts KachelX + 1 74891 KachelY 56469 0.44844970 0.42157158 25.694275 24.154272
    Unten links KachelX 74890 KachelY + 1 56470 0.44840176 0.42152784 25.691528 24.151766
    Unten rechts KachelX + 1 74891 KachelY + 1 56470 0.44844970 0.42152784 25.694275 24.151766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42157158-0.42152784) × R
    4.37400000000143e-05 × 6371000     		dl = 278.667540000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42157158-0.42152784) × R
    4.37400000000143e-05 × 6371000     		dr = 278.667540000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44840176-0.44844970) × cos(0.42157158) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912446984800901 × 6371000     		do = 278.684795543724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44840176-0.44844970) × cos(0.42152784) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912464882114784 × 6371000     		du = 278.690261844061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42157158)-sin(0.42152784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912446984800901-0.912464882114784)×R²
    abs(0.44844970-0.44840176)×1.78973138825755e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78973138825755e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78973138825755e-05×40589641000000     		ar = 77661.1680621579m²